Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 008 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC se traça a bissetriz interior BD e AH perpendicular a BD (H pertenece a BD) tal que:
m [tex3]\angle[/tex3] HAC = 37º, BH = 9 e AC = 15.
Calcular AH .

Resposta

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Gabarito: 4

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
\triangle ABE_{(isosc)}:AE =2AH\\
T.Bissetriz:\frac{AB}{BC} (I)= \frac{AD}{DC}\\
AD = \frac{AH}{\sen(53º)}\\
DC = AC - AD = 15 - \frac{AH}{\sen(53º)}}\\
\frac{AD}{DC}=\frac{\frac{AH}{sen 53}}{15-\frac{AH}{sen53}} = \frac{AH}{15sen53-AH}\\
\triangle BCH': BC= \frac{BH'}{cos \alpha}\\
\triangle BHA: AB = \frac{BH}{cos \alpha}\\
Substiuindo(I):\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{BH'}[/tex3]
Igualando as duas expressões para a razão [tex3]\frac{AB}{BC}[/tex3]:
[tex3]\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{BH'} = \frac{9}{9 + 15 \cdot \cos(53º)}\\
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{AH}{15 \cdot \sin(53º) - AH}[/tex3]
[tex3]\sen(53º) = \frac{4}{5}: \cos(53º) = \frac{3}{5}:\\
\frac{9}{9 + 15 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{AH}{15 \cdot \frac{4}{5} - AH}\\
\frac{9}{9 + 9} = \frac{AH}{12 - AH}\\
\frac{1}{2} = \frac{AH}{12 - AH}\\
12 - AH = 2 \cdot AH\\
3 \cdot AH = 12 \therefore \boxed{AH = 4}
[/tex3]