Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 030 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo isósceles ABC (AB = BC), em AB e BC se tomam os pontos F e E. respectivamente de modo que
m [tex3]\angle CBA[/tex3] + m [tex3]\angle EAC[/tex3] = 90^o e EF = FA .
Por "B" se traça uma perpendicular a BA que intecepta ao prolongamento de FE no ponto D.
Calcular DB, sabiendo que: BE = 5 , AB = 11

Resposta

---

Gabarito: 8

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{\triangle ABC_{(isosc)}: \angle BAC = \angle BCA = \alpha\\
\angle CBA= 180-2\alpha \implies \angle EBD = 90^o - \angle CBA = 2\alpha - 90^o \implies \angle EAF = \angle FEB = \alpha - (2\alpha - 90^0 ) = 90^o - \alpha\\
\therefore \angle EFB = 180-2\alpha \implies \triangle BEF_{(isosc.)} \implies EF = BE = 5\\
\angle BEF = 180-2(180-2\alpha)=4\alpha - 180^o \implies \angle BDE = 2\alpha - 90^o \\
\therefore \triangle BE=ED = 5\\
cos\angle F = \frac{BF}{FD} =\frac{11-5}{5+5} = \frac{3}{5}\\
\ T.cossenos \triangle FBD: BD^2 = 6^2+10^2-2.6.10.cos\angle F = 136 -120.\frac{3}{5} = 136-72 = 64\\
\therefore \boxed{BD = 8}



}[/tex3]