Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 026 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem um triângulo ABC no qual se traça a ceviana BM
Se BM=AC, [tex3]\frac{AB}{13} = \frac{MC}{5}[/tex3]
m [tex3]\angle[/tex3] BAC = 4 [tex3]\alpha [/tex3]
m [tex3]\angle[/tex3] ABM = 2 [tex3]\alpha [/tex3],
Calcular [tex3]\alpha [/tex3]

Resposta

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Gabarito: 18,5^o

[petrasMOD]

T.Senos: [tex3]\frac{\frac{13MC}{5}}{sen(6α)}=\frac{AM}{sen(2α)}=\frac{AM+MC}{sin(4α)}.\\
\frac{sen(4\alpha)}{sen(2\alpha)}=\frac{AM+MC}{MC }\implies1+\frac{MC}{AM}=2cos(2α)(I)\\
\frac{13MC}{5AM}=\frac{sen(6\alpha)}{sen(2\alpha)} \implies 3−4sen^2(2α)=\frac{13}{5}⋅\frac{MC}{AM}(II)[/tex3]
Resolvendo (I) e (II):
[tex3]cos(2α)=45⟹2α=37^∘⟹ \boxed{α=18,5^∘}[/tex3]
(Solução;AniPAscual)

[petrasMOD]

in pérdida de generalidad podemos suponer que AB=13 y MC=5. Entonces trazando la bisectriz de 4α y llamando D a su intersección con BM:

Triángulo △BDA é isósceles,
△DAM e △ABM são semelhantes.
Sendo x = AC = BM e y = BD = DA, por semelhança :

[tex3]\frac{x−y}{x−5}=\frac{y1}{3}=\frac{x−5}{x}[/tex3]
De donde:
[tex3]x=\frac{40}{3} \implies =\frac{65}{8}⟹\\cos(2α)=\frac{\frac{13}{2}}{\frac{65}{8}}=\frac{4}{5}\\
\therefore 2α=37^o⟹ \boxed{α=18,5^o}[/tex3]
(Soluçoa:Pie)