Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 010 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC se marca um ponto P exterior relativo ao lado AC.
Se: [tex3]m \angle BAC = 75º , m \angle BCP = 90 º[/tex3] .
Calcular [tex3]m \angle ABP[/tex3] sendo: BC = CP = PA

Resposta

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Gabarito: 30^o

[rcompany]

[tex3]
C,A \text{ no círculo $\mathcal{C}_{\!\!P}$ de centro P e raio $r=PC=PA$}\\
P,B\text{ no círculo $\mathcal{C}_{\!\!C}$ de centro C e raio $r=PC=BC$}\\
Q,R\text{ os pontos de interseção de $\mathcal{C}_{\!\!P}$ e $\mathcal{C}_{\!\!C}$}\\
\triangle PQC,\triangle CRP \text{ equiláteros de lado $l=r$}\\
\angle RCB=\angle PCB-\angle PCR=90-60=30°\\
CR=CB=r\implies \triangle CRB\text{ isósceles}\implies \angle BRC=\angle CBR=\frac{1}{2}(180-\angle RCB)=75º\\
\text{Existe um só ponto em $\mathcal{C}_{\!\!P}$ formando um ângulo de 75º com $C$ e $B$:}\\
A',\,R' \text{ os pontos de intersecção de $(BA)$ e $(BR)$ com $\mathcal{C}_{\!\!P}$}\\
\angle CAA'=\angle CRR'=180-75=105°\implies \angle CPR'=\angle CPA'=150°\implies A'=R'\implies A=R\\
\therefore CA=CB\text{ e }\angle CBA=75°\\
\text{ e }\angle PBA=75°-45°=30°
[/tex3]

[petrasMOD]

Segue a figura.

[petrasMOD]

Uma outra forma parecida

Traçar a circunferência com centro em C e raio CP e centro em P e raio CP, cuja interseção será o ponto X

[tex3]\mathsf{\angle XBP = \frac{\theta}{2} \implies \angle CBX =45+\frac{\theta}{2} \\
\angle BPX = 45^o -\frac{\theta}{2}\\
\triangle XBP: \frac{\theta}{2} + 45-\frac{\theta}{2} + 45 +\frac{\theta}{2}+\theta =180 \implies \theta = 60^o \\
\therefore CXB = 75^o = \angle BAC \implies ABP = \frac{60}{2} = \boxed{30^o} }[/tex3]