Pré-Vestibular ⇒ Equação Tópico resolvido

[Marycs09]

Eu tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a metade da idade que tu tens. Quando tu tiveres
o triplo da minha idade, a soma das nossas idades será 110 anos. Qual a idade de cada um?

[petrasMOD]

@Marycs09

Minha idade (Eu): M
Sua idade (Você): T

A diferença de idade entre nós é constante, então M - T será sempre a mesma.

Eu tenho o triplo da idade que você tinha quando eu tinha a metade da idade que você tem.

Idade no passado: Eu tinha a metade da sua idade atual, ou seja, [tex3]\frac{T}{2}.[/tex3]
Nesse mesmo momento no passado, a sua idade era[tex3] T_{passado}[/tex3].
Como a diferença de idade é constante, temos:[tex3] M - T = \frac{T}{2} - T_{passado} \implies T_{passado} = \frac{T}{2} - (M - T) = \frac{3T}{2} - M.[/tex3]
Eu tenho (minha idade atual) o triplo da idade que você tinha (sua idade no passado)".
[tex3]M = 3 \times T_{passado} = 3 \times (\frac{3T}{2} - M)= \frac{9T}{2} - 3M\\
\therefore 4M = \frac{9T}{2} \implies 8M = 9T (I)
[/tex3]

Quando tu tiveres o triplo da minha idade, a soma das nossas idades será 110 anos.

Idade no futuro: A sua idade será o triplo da minha idade atual, ou seja, [tex3]T_{futuro} = 3M.[/tex3]
Nesse mesmo momento no futuro, a minha idade será [tex3]M_{futuro}[/tex3].
Usando a diferença de idade constante: [tex3]M - T = M_{futuro} - T_{futuro}[/tex3].
[tex3] M - T = M_{futuro} - 3M \implies M_{futuro} = 4M - T.[/tex3]
A soma das nossas idades (no futuro) será 110".
[tex3]M_{futuro} + T_{futuro} = 110 \implies (4M - T) + 3M = 110
\therefore 7M - T = 110 (II)[/tex3]

Temos duas equações:
[tex3]8M = 9T \implies T = \frac{8M}{9}\\
7M - T = 110[/tex3]

Substituindo o valor de T da Equação (I) na Equação (II):

[tex3]7M - \frac{8M}{9} = 110\implies 63M - 8M = 990\\
\therefore M = \frac{990}{55} = \boxed{18}\\[/tex3]
E assim[tex3] T = \frac{8M}{9} = \frac{8 \times 18}{9} = 8 \times 2 = \boxed{16}[/tex3]

Testando:
Eu tenho 18 anos.
Você 16 anos.

Presente: Eu tenho 18 anos, você tem 16 anos. A diferença de idade é 2.
Passado: Quando eu tinha a metade da sua idade atual (16), eu tinha 8 anos. Naquele tempo, você tinha 6 anos (diferença de 2). Eu tenho o triplo da sua idade do passado? (18 = 3 . 6).
Futuro: Quando você tiver o triplo da minha idade atual (18), você terá 54 anos. Naquele tempo, eu terei 56 anos (diferença de 2). A soma das nossas idades será 110 (54 + 56 = 110).