Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 098 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre o lado BC e a continuação do lado AB de um triângulo retângulo isósceles ABC, com o ângulo reto em "B", são tomados os pontos "E" e "D", respectivamente, de forma que o ângulo BDE = 35º. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo DEC e a bissetriz exterior do ângulo "C"."

Resposta

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Gabarito: 50^o

[rcompany]

[tex3]
\text{ Seja $I$ em $AB$ tal que $(CI)$ seja bissetriz de $\angle ACB$}\\
\text{$F$ ponto de intersecção da bissetriz de $\angle DEC$ com $(CI)$}\\
\text{$G$ ponto de intersecção da bissetriz externa no vértice $C$ com a bissetriz de $\angle DEC$}\\
(CI)\text{ bissetriz interna e $(CG)$ bissetriz externa }\implies (CI)\perp(CG)\\
\angle DBE=90°\land\angle EDB=35°\implies \angle BED=55°\implies \angle DEC=180-55=125°\\
\implies \angle DEG=\frac{1}{2}\cdot 125°=62,5°\\
\implies \angle CEF=55+62,5=117,5°\\
\triangle ABC \text{ retângulo e isósceles em B}\implies \angle ACB=45°\implies \angle FCB=22,5°=\angle FCE\\
\angle GFC=\angle EFC=180-\angle FCE-\angle CEF=180-22,5-117,5=40°\\
\angle CGF=180 -\angle GFC -\angle FCG=180-40-90=50°
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