Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 091 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura, AM = MC e BE = 2AB , calcular "x".

Resposta

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Gabarito: 14^o

[petrasMOD]

Ponto médio de BC
△BEM≡△BNM, de onde:

[tex3]tan(x)=\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{2BC}=\frac{BC}{4BC}⟹x=arctan(\frac{1}{4})≈\boxed{14^o}
[/tex3]

(Solução:Pie)

[rcompany]

[tex3]
\triangle ABC\text{ retângulo em $B$ e $M$ pon tomédio de $AC$}\implies M\text{ circuncentro de $\triangle ABC$}\implies MA=MB=MC\\
MB=MC\implies \angle CBM=\angle MCB=x\\
\therefore \angle MBE=x,\\
\text{e então }\triangle ABC\sim \triangle MEB\text{ com razão }r=\frac{ME}{AB}=\frac{EB}{BC}=\frac{MB}{AC}\quad\quad(1)\\
\text{Sem perda de generalidade definimos }AB=1. \text{ Daí }BE=2.\\
\text{ e }(1)\implies ME=\frac{2}{BC}=\frac{1}{2}\text{ já que }MB=MA=\frac{AC}{2}\\
\text{Temos então }BC=4\text{ e }ME=\frac{1}{2}\\
\tan x=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{4}\implies x=\arctan(\frac{1}{4})\approx 14°\quad\quad(\text{ ou }\tan x=\frac{EM}{BE}=\frac{\dfrac{1}{2}}{\,\,\,\,2\,\,\,\,}=\frac{1}{4})
[/tex3]