Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 109 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura mostrada, calcular o máximo valor inteiro que pode tomar "x".

Resposta

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Gabarito: 6

[rcompany]

[tex3]\triangle ABC\text{ o triângulo}\\
\text{$AH$ a altura tal que traçada na figura, com $AH=x$}\\
\text{Seja $M$ o ponto médio de $BC$}\\
\triangle ABC\text{ retângulo em $A$}\implies M\text{ circuncentro de $\triangle ABC$}\implies MA=MB=MC=\frac{13}{2}\\
AH\text{menor distância entre $A$ e $(BC)$}\implies AH\le\frac{13}{2}\\
\text{e se $x\in\mathbb{N}$ então $x<7$}\\
\text{temos $BH\cdot CH=AH^2=x^2$ e $BH+CH=13$}\\
x=6\implies (BH=4\land CH=9)\lor(BH=9\land CH=4)\\
\text{i.e. $x=6$ é solução}\\
\text{ o valor inteiro máximo de $x$ é 6}
[/tex3]