Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 110 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Do gráfico, calcular o valor da razão aritmética entre o máximo e mínimo valor inteiro de PN, se [tex3]\theta [/tex3] é obtuso.

Resposta

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Gabarito: 2

[petrasMOD]

Lei dos Cossenos:
[tex3]PN^2 = 74 - 70 \cos(\theta)[/tex3]
[tex3]
\theta [/tex3] é um ângulo obtuso, [tex3] 90^\circ < \theta < 180^\circ.
[/tex3]
Para [tex3] 90^\circ < \theta < 180^\circ \implies -1 < \cos(\theta) < 0.
[/tex3]
Valor mínimo:
A expressão [tex3]74 - 70 \cos(\theta) [/tex3]será mínima quando [tex3]\cos(\theta)[/tex3] for máximo. O valor máximo de [tex3]\cos(\theta)[/tex3] neste intervalo é próximo de 0.
[tex3]PN_{mínimo}^2 = 74 - 70 \cdot 0 = 74 = \sqrt{74} \approx 8,60[/tex3]
O primeiro valor inteiro de PN maior que 8,60 é **9**.
Valor máximo:**
A expressão [tex3]74 - 70 \cos(\theta)[/tex3]será máxima quando [tex3]\cos(\theta)[/tex3] for mínimo. O valor mínimo de [tex3]\cos(\theta) [/tex3]neste intervalo é próximo de -1.
[tex3]PN_{máximo}^2 = 74 - 70 \cdot (-1) = \sqrt{144} = 12[/tex3]
O último valor inteiro de PN menor que 12 é **11**.
Razão Aritmética = 11 - 9 =[tex3] \boxed{2}[/tex3]