Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 114 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

No triângulo um lado mede 1 e o maior ângulo externo mede "[tex3]\theta [/tex3]".
Calcular o valor do menor ángulo externo se os lados do triângulo tem valores inteiros

Resposta

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Gabarito: 180^o - [tex3]\frac{\theta }{2}[/tex3]

[petrasMOD]

Seja [tex3](\alpha[/tex3]) o menor ângulo interno do triângulo (oposto ao lado de comprimento 1). O maior ângulo externo ([tex3]\theta[/tex3]) é o suplementar de ([tex3]\alpha[/tex3]), logo

[tex3]\theta = 180^\circ - \alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha = 180^\circ - \theta.[/tex3]


Como um lado vale (1) e os outros são inteiros com ordenação ([tex3]1\le b\le c[/tex3]), a desigualdade triangular força ([tex3]c\le b[/tex3]), e portanto (b=c). O triângulo é isósceles com base oposta ao ângulo ([tex3]\alpha[/tex3]). Assim os outros dois ângulos internos são iguais e valem

[tex3]\beta=\gamma=\frac{180^\circ-\alpha}{2}.[/tex3]

O menor ângulo externo corresponde ao maior ângulo interno (um desses ([tex3]\beta[/tex3]) ou (\gamma)); seu valor é

[tex3]\theta_{\min}=180^\circ-\beta=180^\circ-\frac{180^\circ-\alpha}{2}.[/tex3]

Substituindo [tex3](\alpha=180^\circ-\theta[/tex3]),

[tex3]\theta_{\min}=180^\circ-\frac{180^\circ-(180^\circ-\theta)}{2}
=\boxed{180^\circ-\frac{\theta}{2}}.[/tex3]