ITA 1968 ⇒ Questão 07 - ITA-1968

[petrasMOD]

Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com raiz de 55 cm de geratriz e raiz de 30 cm de altura. Sabendo-se que os pontos de tangencia estao a 3 cm do vertice, o raio da esfera vale:
A) 2[tex3]\sqrt{30}[/tex3] cm
B) [tex3]\frac{\sqrt{35}}{2}[/tex3] cm
C) [tex3]\frac{\sqrt{30}}{2}[/tex3] cm
D) 3 cm
E) Nenhuma das respostas anteriores

Raio da base do cone (R):
([tex3]g = \sqrt{55}[/tex3]) e a altura ([tex3]h = \sqrt{30}[/tex3]).

[tex3]g^2 = h^2 + R^2 \Rightarrow 55 = 30 + R^2 \Rightarrow R = 5 cm.[/tex3]

A seção transversal do cone e da esfera forma dois triângulos retângulos semelhantes: o triângulo grande do cone (h, R, g) e o triângulo pequeno que inclui o raio da esfera (r) e a distância do vértice ao ponto de tangência (3 cm).
* A proporção entre os lados é a mesma:
[tex3] \frac{\text{raio da esfera}}{\text{raio da base}} = \frac{\text{distância ao vértice}}{\text{altura do cone}}[/tex3]

[tex3] \frac{r}{5} = \frac{3}{\sqrt{30}} \implies r = \frac{15\sqrt{30}}{30} =\boxed{ \frac{\sqrt{30}}{2} cm.}[/tex3]