ITA 1968 ⇒ Questão 18 - ITA-1968

[petrasMOD]

Seja
λ x + y = 0
x + λ y + z = 0
y + λ z = 0
O sistema acima terá solução não trivial para um certo conjunto de valores de λ. Para que isto se verifique este conjunto é constituído:

A) Apenas por números complexos não reais.
B) Apenas nor números reais.
C) Apenas por números racionais.
D) apenas por números irracionais.
E) Apenas por números inteiros.

Para que um sistema de equações lineares homogêneo (igual a zero) tenha soluções não triviais (diferentes de zero), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero.

A matriz dos coeficientes do sistema é:
[tex3]
A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}[/tex3]

Vamos calcular o determinante de A

[tex3]det(A) = \lambda \cdot (\lambda \cdot \lambda - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot \lambda - 1 \cdot 0) + 0 \cdot (1 \cdot 1 - \lambda \cdot 0)\\

det(A) = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 0) + 0\\

det(A) = \lambda^3 - \lambda - \lambda\\

det(A) = \lambda^3 - 2\lambda[/tex3]

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante deve ser zero:

[tex3]\lambda^3 - 2\lambda = 0\\

\lambda(\lambda^2 - 2) = 0\\

\lambda = 0\\

ou\\

\lambda^2 - 2 = 0 \implies \lambda^2 = 2 \implies \lambda = \pm \sqrt{2}[/tex3]

Vamos analisar o tipo de números que estas soluções representam:
[tex3]\lambda = 0[/tex3] é um número inteiro (e também racional e real).
[tex3] \lambda = \sqrt{2}[/tex3] é um número irracional (e também real).
[tex3]\lambda = -\sqrt{2}[/tex3] é um número irracional (e também real).

Todas as soluções encontradas são números reai*.


B) Apenas por números reais