ITA 1971 ⇒ (ITA-1971) - (Apenas para Consulta) - Prova Completa

[JigsawMOD]

MINISTÉRIO DA AERONÁUTICA
CENTRO TÉCNICO DE AERONÁUTICA
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO - 1971
EXAME DE MATEMÁTICA
INSTRUÇÕES
1. A duração da prova é de 4 horas.
2. A prova de Matemática consta de 25 questões de Múltipla Escôlha .
3. Só há uma resposta certa em cada questão .
4. NÃO DEIXE DE RESPONDER NENHUMA QUESTÃO. QUANDO EM DÚVIDA, ASSINALE A RESPOSTA QUE LHE PARECER MAIS CORRETA.
5. Questões não respondidas ocasionam rejeição do cartão pelo computador, podendo prejudicar o candidato.
6. Não escreva no caderno de questões .
7. Assinale com um traço curto e forte de lápis o espaço correspondente a cada
questão, na fôlha de respostas.
8. Verificando algum engano nas respostas poderá corrigí-la usando borracha
9. Observe cuidadosamente o número das questões ao respondê-las .
10. O agente fiscal fornecerá papel para rascunho, o qual não será considerado na correção da prova .
11. Não será permitido o uso de tabelas, régua de cálculo, apontamentos, formulários e outros papéis a não ser os fornecidos pelo fiscal .
12. O caderno de questões contém 6 páginas numeradas de 2 a 7 .
13. No caderno de questões N.d.r.a. significa nenhuma dessas respostas.
14. log m significa logaritmo de ma na base e
15. Lidas estas instruçoes aguarde a ordem do fiscal para o inicio do exame.

Questão 01: Qual o resto da divisão por 3 do determinante

[tex3]\begin{vmatrix}
4 & 1 & 3 & -6 \\
(3-4) & (6-1) & (-3-5) & (9+6) \\
5 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 5 \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(A) 0.
(B) 3.
(C) 7.
(D) 1.
(E) N.d.r.a.

2. Sejam α e β dois planos não paralelos interceptados ortogonalmente pelo plano γ. Sejam ainda r, s e t respectivamente as intersecções de α e β, α e γ e β e γ. Qual das afirmações abaixo é sempre correta?
A) r, s e t formam oito triedros triretângulos.
B) Existe um ponto P de r tal que, qualquer reta d e γ que passa por P é ortogonal a r.
C) r pode não interceptar γ.
D) t é perpendicular a α.
E) Nenhuma dessas afirmações é correta.

3. O produto dos termos da seguinte P.G. [tex3]-\sqrt{3}[/tex3], 3, [tex3]-3\sqrt{3}[/tex3], ...[tex3]-81\sqrt{3}[/tex3] é
(A) [tex3]-\sqrt{3^{25}}[/tex3]
(B) [tex3]-\sqrt{3^{42}}[/tex3]
(C) [tex3]-\sqrt{5.3^{9}}[/tex3]
(D) [tex3]-\sqrt{3^{45}}[/tex3]
(E) N.d.r.a.

4. Se f é uma função real de variável real dada por f(x) = x², então f(x² + y²) é igual a:
A) f(f(x)) + f(y) + 2f(x) f(y) para todo x e y.
B) f(x²) + 2f(f(x)) + f(x) f(y) para todo x e y.
C) f(x²) + f(y²) + f(x) f(y) para todo x e y.
D) f(x) + f(f(y)) + 2f(x) f(y) para todo x e y.
E) f(f(x)) + 2f(y2) + 2f(x) f(y) para todo x e y.

5. Uma solução da equação
24x⁵ - 4x⁴ + 49x³ - 2x² + x - 29 = 0
(A) x = 2/3
(B) x = 11/12
(C) x = 3/4
(D) x = 4/3
(E) N.d.r.a.

6. Seja a desigualdade 2(log x)² - log x > 6.
Determinando-se as soluções desta desigualdade obtemos:
(A) 0 < x < 1/e e x > 10²
(B) 0 < x < e^-3/2 e x > e²
(C) 0 < x < e e x < 10
(D) 1/e < x < 1 e x > e
(E) N.d.r.a.

7. Dados uma circunferência de diâmetro AB, centro 0, e um ponto C da circunferência, achar o lugar geométrico dos pontos interesecção do raio 0C à paralela ao diâmetro AB e passando pelo pé da perpendicular a AC tirada por 0.
(A) um segmento de reta paralela a AB.
(B) uma circunferência de raio 2R/3 e origem 0.
(C) uma circunferência de raio R/2 e origem 0.
(D) uma elipse de semi-eixo maior 0A
(E) N.d.r.a.

8. Consideremos a equação [log(sen x)]² - log(sen x) - 6 = 0. A(s) solução(ões) da equação acima é (são) dada(s) por:
A) x = arc sen (e²) e x = arc sen(3).
B) x = arc sen (1/2) e x = arc sen(1/3).
C) x = arc tg(e²) e 2 = arc cos (3).
D) x = arc sen (1/e²).
E) N.d.r.a.

9. Uma progressão geométrica de 3 termos positivos cuja soma é m, tem seu segundo termo igual a 1. Que valores deve assumir m, para que o problema tenha solução?
(A) 0 < m ≤ 1.
(B) 1 ≤ m < 3.
(C) m ≥ 3.
(D) 1≤ m ≤ 2.
(E) N.d.r.a.

10. Dada a equação log(cos x) = tg x, as soluções desta equação em x satisfazem a relação:
(A) 3π/2 < x ≤ 2π
(B) 0 < x < π/2
(C) 0 < x < π
(D) -π/2 < x < π/2
(E) N.d.r.a.

11. Dado um cone reto de geratriz g e attura h, calcular a que distância do vertice deveremos passar um plano paralelo à base, a fim de que a secção obtida seja equivalente à área lateral do tronco formado.
(A) [tex3]\sqrt{g(g-h)}[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt{g(g-\sqrt{g^{2}-h^{2}}})[/tex3]
(C) [tex3]\sqrt{g^{2}-\sqrt{g^{2}-h^{2}}}[/tex3]
(D) [tex3]\sqrt{h^{2}-g\sqrt{g^{2}-h^{2}}}[/tex3]
(E) N.d.r.a.

12. O sistema de desigualdades
ax² + bx ≥ 0
a/4 x² - bx + (2b - a) < 0
e a > 0, b > 0, b ≠ a
Tem solução para
(A) x < x -b/a e b > a;
(B) x > 2 e b < a;
(C) 0 < x < 1 e b > 3/4 a;
(D) x > 4b/a - 2 e a > 2b;
(E) N.d.r.a.

13. A seguinte soma log 1/2 + log 1/4 + … + log 1/2ⁿ com n natural, é igual a:
(A) log n+n³/2;
(B) (n+n²) log [tex3]\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3];
(C) -n (n+1) 2 log 2;
(D) (n²-1/2) 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3];
(E) N.d.r.a.

14. Qual o resto da divisão por x-a do polinômio
[tex3]\begin{vmatrix}
1 & x & x^{2} & x^{3} \\
1 & a & a^{2} & a^{3} \\
1 & b & b^{2} & b^{3} \\
1 & c & c^{2} & c^{3} \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(A) 2x³ + c.
(B) 6x² + 7.
(C) 5.
(D) 0.
(E) N.d.r.a.

15. Dividindo o polinômio P(x) = x³ + x² + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz:
(A) Q(2) = 0.
(B) Q(3) = 0.
(C) Q(0) ≠ 0.
(D) Q(1) ≠ 0.
(E) N.d.r.a.

16. Seja P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰, onde a₁₀₀ = 1, um polinômio divisível por (x + 9)¹⁰⁰. Nestas condições temos:
(A) a₂ = 50 x 99 x 9⁹⁸
(B) a₂ = 100!/2! 98!
(C) a₂ = 99!/2! 98!
(D) a₂ = 100! 9²/2! 98!
(E) N.d.r.a.

17. Determinando-se a condição sobre t para que a equação
4^x(logt + 3)2^x - Iogt = 0 admita duas raízes reais e distintas, obtemos:
(A) e^-3 ≤ t ≤ 1.
(B) t ≥ 0.
(C) e^-1 < t < 1.
(D) 3 < t < e².
(E) N.d.r.a.

18. Qual é o menor valor de x que verifica a equação tgx+ 3 cotgx = 3?
A) 2=7/4.
B) para todo x ∈ (0, π/2).
C) para nenhum valor de x.
D) para todo valor de x ≠ n π/2 onde n = 0, ­­­±­1, ±­2,…;
E) Apenas para x no 3° quadrante.

19. Dispomos de seis cores diferentes. Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica a outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?
(A) 30.
(B) 12.
(C) 36.
(D) 18.
(E) N.d.r.a.

20. A igualdade cos x/2 = cos x/2 é verificada para:
A) Para qualquer valor de x.
B) Para qualquer valor de x ≠ n π/2 onde n = 0, ­­­±­1, ±­2,…
C) Para x > 2 arc cos [tex3]\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]
D) Para nenhum valor de x.
E) Para x = 2 arc cos (cos 60° - cos 30°).

21. A equação [sen(cos x)][cos(cos x)] = 1 é satisfeita para
A) x = π/4.
B) x = 0.
C) nenhum valor de x.
D) todos os valores de x.
E) todos os valores de x pertencentes ao 3° quadrante.

22. Cortando-se um determinado prisma triangular, reto, por um plano α que forma um angulo de 45° com o plano da base ABC observamos que a reta r, intersecção de α com o plano da base, dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de C. Se a área da base for 21 cm², o volume do tronco do prisma compreendido entre a base ABC e o plano α será:
(A) 105 cm³.
(B) 294 cm³.
(C) 98 cm³.
(D) 98 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] cm³.
(E) [tex3]\frac{98}{\sqrt{2}}[/tex3] cm³.

23. Seja n um número inteiro n > 1 e x ∈ (0, π/2). Qual afirmação abaixo é sempre verdadeira?
(A) (1 - sen x)n ≥ 1 - n sen x;
(B) (1 - sen x)n ≥ 1 - n sen x para apenas n par;
(C) (1 - sen x)n ≤ 1 - n sen x;
(D) (1 - sen x)n ≤ 1 - n cos x;
(E) N.d.r.a.

24. Seja x ∈ (0, π/2). Qual afirmação abaixo é verdadeira?
(A) sen x/cos x + cos x/sen x ≤ 1;
(B) sen x/cos x + cos x/sen x ≤ 2;
(C) sen x/cos x + cos x/sen x ≥ 2;
(D) sen x/cos x + cos x/sen x = 2;
(E) N.d.r.a.

25. Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por n linhas retas? (Sugestão: usar indução finita).
(A) n²
(B) n (n + 1)
(C) n(n+1)/2
(D) n² + n+2/2
(E) N.d.r.a.