ITA 1968 ⇒ Questão 24 - ITA-1968

[petrasMOD]

O valor absoluto de um número y é menor ou igual que tôdas as soluções positivas da equação
(1 - x) + x (1-x) =1 - x²
Assinale a afirmação correta:

A) y = -1/2
B) y = -1
C) -3 ≤ y ≤ 3
D) y = 1/2
E)Nenhuma das afirmações acima.
[tex3]
(1 - x) + (x - x^2) = 1 - x^2\\
1 - x + x - x^2 = 1 - x^2\\
1 - x^2 = 1 - x^2[/tex3]

A equação é verdadeira para qualquer valor de x real, pois o lado esquerdo é sempre igual ao lado direito.

Como a equação é uma identidade, ela é verdadeira para todos os números reais. Isso significa que todas as soluções positivas são todos os números reais positivos.

O conjunto de soluções positivas é [tex3]\{x \in \mathbb{R} | x > 0\}.[/tex3]

A condição dada é que o valor absoluto de um número y é menor ou igual que todas as soluções positivas da equação".
Isso significa que [tex3]|y| \le x[/tex3] para todo x que é uma solução positiva.

Ou seja, [tex3]|y| \le x[/tex3] para todo x > 0.

Se |y| deve ser menor ou igual a todos os números positivos, isso implica que |y| deve ser menor ou igual ao limite inferior desse conjunto, que é 0.

Como o valor absoluto de um número nunca é negativo, a única possibilidade é que |y| = 0.

[tex3]|y| \le 0\\
|y| = 0\\
y = 0[/tex3]

Conclusão: O único valor possível para y que satisfaz a condição é y = 0.
Portanto, a resposta correta é a C)