ITA 1968 ⇒ Questão 25 - ITA-1968

[petrasMOD]

Sejam a₁, a₂, …, an números reais.
A expressão (a₁ + a₂ + … a_n)² é igual a:

A) [tex3]\sum_{i=1}^{n}a_i^{2}+4\sum_{j=1}^{n}a_j[/tex3]
B) [tex3]\sum_{i=1}^{n}a_i^{2}+\sum_{i=1}^{n}\(\sum_{j=1}^{n}a_ia_j \)[/tex3]
C) [tex3]\sum_{i=1}^{n}a_i^{2}+\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}\sum_{j=1}^{n}a_j[/tex3]
D) [tex3]\sum_{i=1}^{n}\(\sum_{j=1}^{n}a_ia_j \)[/tex3])
E) Nenhuma das respostas anteriores

A expressão [tex3](a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 [/tex3]é o quadrado de uma soma de n termos.
Para n=2:[tex3]
(a_1 + a_2)^2 = a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 = (a_1^2 + a_2^2) + 2a_1a_2.
[/tex3]
Para n=3:
[tex3] (a_1 + a_2 + a_3)^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + 2a_2a_3.[/tex3]

Podemos ver que o resultado de ([tex3]a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2[/tex3] sempre tem dois tipos de termos:

A soma dos quadrados de cada termo:[tex3] a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2[/tex3].
Duas vezes a soma de todos os produtos de pares de termos diferentes: [tex3]2a_1a_2 + 2a_1a_3 + \dots + 2a_{n-1}a_n.[/tex3]

A soma dos quadrados dos termos é:
[tex3]\sum_{i=1}^{n} a_i^2[/tex3]

A soma dos produtos de pares de termos é através de um somatório duplo.

Considere a expressão [tex3]\left(\sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2[/tex3]. Isso é o mesmo que multiplicar a soma por ela mesma:
[tex3]\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{j=1}^{n} a_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j[/tex3]
Expandindo o somatório duplo[tex3]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ia_j[/tex3], obtemos todos os produtos possíveis, incluindo aqueles em que i = j.

Quando i = j, os termos são [tex3]a_1a_1, a_2a_2, \dots, a_na_n,[/tex3] ou seja, [tex3]a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2.[/tex3]
Quando i [tex3]\neq [/tex3]j, os termos são os produtos de pares diferentes, como [tex3]a_1a_2~ e~ a_2a_1.[/tex3]

Portanto, o somatório duplo pode ser dividido em duas partes:
[tex3]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ia_j = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i \neq j} a_i a_j[/tex3]
O termo [tex3]\sum_{i \neq j} a_i a_j[/tex3] inclui pares como [tex3]a_1a_2 ~e~ a_2a_1[/tex3]. Como [tex3]a_1a_2 = a_2a_1[/tex3], a soma de todos os termos com [tex3]i \neq j [/tex3] é igual a 2 . (a soma dos produtos de pares únicos).

Então, a expressão completa é:
[tex3]\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_ia_j[/tex3]

Analisando as opções fornecidas:

A) Incorreta. A segunda parte da expressão não é uma soma de termos simples.
B) Incorreta. A segunda parte, é o somatório duplo [tex3]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ia_j[/tex3]. Substituindo-o, teríamos [tex3]\sum_{i=1}^{n}a_i^{2} + \left( \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ia_j \right)[/tex3], que é igual a [tex3]2 \cdot \left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ia_j \right) - \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}.[/tex3]
C) Incorreta. A segunda parte não é um produto com um coeficiente binomial.
D) Esta expressão é o somatório duplo completo. Como vimos acima, ela é igual a $[tex3]\sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i \neq j} a_i a_j. [/tex3]A expressão original é [tex3](a_1 + \dots + a_n)^2[/tex3], que é exatamente o somatório duplo. Portanto, esta opção é a única que representa a expressão original de forma correta.