ITA 1975 ⇒ (ITA-1975) - (Apenas para Consulta) - Prova Completa

[JigsawMOD]

MINISTÉRIO DA AERONÁUTICA
DEPARTAMENTO DE PESQUISAS E DESENVOLVIMENTO
CENTRO TECNICO AEROESPACIAL
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO - 1975
EXAME DE MATEMÁTICA
INSTRUÇÕES
1. A duração da prova é de 3 horas e 30 minutos.
2. A prova de Matemática consta de 25 questões de Múltipla Escôlha.
3. Só há uma resposta certa em cada questão.
4. NÃO DEIXE DE RESPONDER NENHUMA QUESTÃO. QUANDO EM DUVIDA, ASSINALE A RESPOSTA QUE LHE PARECER MAIS CORRETA.
5. Questões não respondidas ocasionam rejeição do cartão pelo computador, podendo prejudicar o candidato.
6. Assinale com um traço curto e forte de lápis o espaço correspondente a cada questão, na folha de respostas.
7. Verificando algum engano nas respostas poderá corrigí-la usando borracha.
8. Observe cuidadosamente o número das questões ao respondê-las.
9. A^t significa "a matriz transposta de A".
10. [tex3]\bar{Z}[/tex3] significa "o conjugado de Z”.
11. C_n,r = [tex3]\begin{pmatrix}
n \\
r \\
\end{pmatrix}[/tex3] é o número de combinações simples de n elementos tomados r a r.
12. R é o conjunto dos números reais.
13. e é a base dos logaritmos neperianos.
14. O agente fiscal fornecerá papel para rascunho, o qual não será considerado na correção da prova.
15. Não será permitido o uso de tabelas, régua de cálculo, máquina calcular, apontamentos, formulários e outros papéis a não ser os fornecidos pelo fiscal.
16. O caderno de questões contém 4 páginas numeradas de 1 a 4.
17. NDA significa "nenhuma das respostas anteriores".
18. Lidas as presentes instruções e preenchido o cabeçalho da folha de respostas aguarde ordem do fiscal para iniciar o exame.

QUESTÕES DE MATEMÁTICA

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Questão 01: Qual é o valor de [tex3]\sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix}
h \\
r \\
\end{pmatrix}^{2}[/tex3]?

(A) [tex3]\begin{pmatrix}
n \\
n \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(B) [tex3]\begin{pmatrix}
2n \\
n \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(C) [tex3]\begin{pmatrix}
n^{2} \\
n \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(D) [tex3]2^{n}[/tex3]
(E) NDA

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Questão 02: Seja [tex3]f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}[/tex3] definida em [tex3]\Re[/tex3]. Se [tex3]g[/tex3] for a função inversa de [tex3]f[/tex3], o valor de [tex3]e^{g\left(\frac{7}{25}\right)}[/tex3] será:

(A) [tex3]\frac{4}{3}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{7e}{25}[/tex3]
(C) [tex3]\log _e\left(\frac{25}{7}\right)[/tex3]
(D) [tex3]e^{\left(\frac{7}{25}\right)^{2}}[/tex3]
(E) NDA

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Questão 03: Uma equação do lugar geométrico das intersecções das diagonais dos retângulos inscritos no triângulo [tex3]ABC[/tex3] e com um lado em [tex3]AB[/tex3] figura abaixo) é:

(A) [tex3]x+\frac{2(a+b)}{c}y=a+b[/tex3]
(B) [tex3]x+\frac{a+b}{c}y=\frac{a+b}{2}[/tex3]
(C) [tex3]ax+3(b+c)y=\frac{a+c}{2}[/tex3]
(D) [tex3]x + cy + ab = 0[/tex3]
(E) NDA
(****) Há uma Figura nessa questão

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Questão 04: A expressão [tex3]1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+....[/tex3] vale

(A) [tex3]4[/tex3]
(B) [tex3]\frac{9}{2}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{7}{2}[/tex3]
(D) [tex3]3,8[/tex3]
(E) NDA

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Questão 05: Se dividirmos um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x - 2[/tex3] o resto é [tex3]13[/tex3] e se dividirmos [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x + 2)[/tex3] o resto é [tex3]5[/tex3].
Supondo que [tex3]R(x)[/tex3] é o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x^2 - 4[/tex3], podemos afirmar que o valor de [tex3]R(x)[/tex3], para [tex3]x = 1[/tex3] é:

(A) zero.
(B) 7.
(C) 9.
(D) 11.
(E) NDA.

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Questão 06: Seja [tex3]A[/tex3] uma matriz quadrada de ordem [tex3]n[/tex3], tal que [tex3]A^{-1} = A^t[/tex3].
Se [tex3]det A = 1[/tex3], dizemos que [tex3]A[/tex3] é uma matriz de rotação e se [tex3]det A = -1[/tex3], [tex3]A[/tex3] é uma matriz de reflexão. Apoiados em tais definições, podemos afirmar que.

(A) se [tex3]n[/tex3] é ímpar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexão.
(B) a soma de duas matrizes de rotação é de rotação.
(C) o produto de duas matrizes de rotação é de rotação.
(D) a matriz inversa de toda matriz de rotação é de reflexão.
(E) NDA.

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Questão 07: Sabendo-se que [tex3]\sen x =\frac{m-n}{m+n}[/tex3], [tex3]n > 0[/tex3] e [tex3]m > 0[/tex3], podemos afirmar que [tex3]\tg \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)[/tex3] é igual a:

(A) [tex3]\frac{n}{m}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{\sqrt{m}}{n}[/tex3]
(C) [tex3]1-\frac{n}{m}[/tex3]
(D) [tex3]\sqrt{\frac{n}{m}}[/tex3]
(E) NDA

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Questão 08: A respeito da equação [tex3](x^{2}+3x+2)^{2}-8(x^{2}+2x)-8x=4[/tex3], podemos afirmar que:

(A) todas as raízes são inteiras.
(B) uma raiz é nula e as outras são positivas.
(C) a soma dos módulos das raízes é 6.
(D) o módulo da maior raiz é 5.
(E) NDA.

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Questão 09: Se [tex3]Z_1[/tex3], [tex3]Z_2[/tex3], [tex3]Z_3[/tex3], [tex3]Z_4[/tex3] e [tex3]Z_5[/tex3] são as raízes da equação [tex3](Z+1)^{5}+Z^{5}=0[/tex3], e se [tex3]R(Z)[/tex3] indica a parte real de [tex3]Z[/tex3] então podemos afirmar que:

(A) [tex3]R(Z_k) = 0[/tex3] para [tex3]K = 1,\,2,\,3[/tex3] e [tex3]R(Z_i) = 1[/tex3], para [tex3]i = 4,\,5[/tex3].
(B) [tex3]R(Z_k) = -\frac{1}{2}[/tex3] para [tex3]K = 1,\,2,\,3,\,4,\,5[/tex3].
(C) [tex3]Z_1,\,Z_2,\,Z_3,\,Z_4,\,Z_5[/tex3] são números reais (não complexos).
(D) [tex3]R(Z_k) = 2[/tex3] para [tex3]K = 1,\,2,\,3[/tex3] e [tex3]R(Z_i) = 0[/tex3] para [tex3]i = 4,\,5[/tex3].
(E) NDA.

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Questão 10: Os lados de dois octógonos regulares têm, respectivamente, 5 cm e 12 cm. O comprimento do lado de um terceiro octógono regular, de área igual à soma das áreas dos outros dois, é:

(A) 17 cm.
(B) 15 cm.
(C) 14 cm.
(D) 13 cm.
(E) NDA.

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Questão 11: Admitindo-se que o polinômio [tex3]P(y)=y^{5}-(tgu)^{2}y^{3}+(tgu)y+\sec ^{2}u-\tg ^{2}u[/tex3] é divisível pelo polinômio [tex3]Q(y)=y+\cotg ^{2}u-\cosec ^{2}u[/tex3] , onde [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] < u < π , podemos assegurar que：

(A) tgu é um número irracional negativo.
(B) cossec u = - sec u.
(C) [tex3]u=\frac{2π}{3}[/tex3]
(D) tgu é um numero tal que -1 < tgu < 0.
(E) NDA.

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Questão 12: Se Z₁ e Z₂ são números complexos, Z₁ + Z₂ e Z₁.Z₂ são ambos reais, então podemos afirmar que:

(A) Z₁ e Z₂ são ambos reais ou Z₁ = Z₂.
(B) Z₁ e Z₂ são números complexos não reais.
(C) Z₁ e Z₂ são números reais irracionais.
(D) Z₁ é um número complexo puro e Z₂ é número real.
(E) NDA.

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Questão 13: Consideremos uma esfera de raio r = 1 cm e um ponto P fora desta esfera. Sabemos que a distância deste ponto P à superfície da esfera mede 2 cm. Qual é a razão K entre a área da superfície da esfera e a da calota visível do ponto P?

(A) K = 1.
(B) K = 2.
(C) K = 3.
(D) K = [tex3]\frac{5}{2}[/tex3].
(E) NDA.

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Questão 14: Seja S o conjunto das soluções do sistema de desigualdades:
2x + y - 3 > 0
x - 2y + 1 < 0
y - 3 < 0
x + my - 5 < 0 onde m é real.
A representação geométrica de S, em coordenadas cartesianas ortogonais (x, y), é:

(A) um quadrilátero para qualquer m > 0.
(B) um triângulo isósceles para qualquer m < 0.
(C) um triângulo retângulo para m < 0 ou [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] < m < 4.
(D) S é o conjunto vazio para m > [tex3]\frac{5}{3}[/tex3]
(E) NDA.

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Questão 15: Sendo a, b, c, d as raizes da equação [tex3]2x^{4}-7x^{3}+9x^{2}-7x+2=0[/tex3] , podemos afirmar que:

(A) a, b, c, d são reais positivas.
(B) [tex3]a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}[/tex3] é igual a [tex3]\frac{13}{5}[/tex3].
(C) a,b,c, d não são reais.
(D) [tex3]\frac{1}{bcd}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{abd}+\frac{1}{abc}[/tex3] é a soma das raizes.
(E) NDA.

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Questão 16: As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (sen x) cm e (cos x) cm. Um estudante calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa, e obteve como resultado π cm³. Considerando este resultado como certo, podemos afirmar que:

(A) [tex3]x=\frac{π}{6}[/tex3]
(B) [tex3]x=\frac{π}{3}[/tex3]
(C) [tex3]x=\frac{π}{4}[/tex3]
(D) [tex3]x=\frac{π}{5}[/tex3]
(E) NDA.

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Questão 17: Sejam as matrizes reais [tex3]A=\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix},\, I=\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix},\, X=\begin{vmatrix}
x \\
y \\
\end{vmatrix}[/tex3] e m um número real. Seja: AX = m.X. Então podemos afirmar que:

(A) Se det (A - m I) ≠ 0, então x + y = 0 e x.y ≠ 0.
(B) Se det (A - m I) = 0, então existem dois números reais x, y tais que x + y ≠ 0 ou x.y ≠ 0.
(C) Se det (A - m I) = 0, então det A = 0 e m = 0.
(D) Se det A = 0, então não existem dois números reais x, y tais que AX = mX.
(E) NDA.

Oustão 18: As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números log_et, log_et² e log_et³ e a área total é 792 cm². Sabendo-se que a soma das dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas dimensões?

(A) 6, 12 e 18.
(B) 5, 10 e 15.
(C) 2, 3 e 4.
(D) 2, 4 e 8.
(E) NDA.

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Questão 19: O número de soluções inteiras e não negativas da equação:
[tex3]x+y+z+t=7[/tex3] é:

(A) [tex3]\begin{pmatrix}
7 \\
4 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(B) [tex3]\begin{pmatrix}
11 \\
4 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(C) [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(D) [tex3]\begin{pmatrix}
11 \\
3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
(E) NDA

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Questão 20: Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência. Sabe-se que  = 2C, B > D e tg B. tg D + sen A. sen C = [tex3]-\frac{9}{4}[/tex3].
Neste caso, os valores de A, B, C, D são, respectivamente:

(A) 150°, 45°, 75°, 30°.
(B) 90°, 120°, 45°, 60°.
(C) 120°, 150°, 60°, 30°.
(D) 120°, 120°, 60°, 60°.
(E) NDA.

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Questão 21: Num triângulo escaleno ABC, os lados opostos aos ângulos Â, B, C, medem, respectivamente, a, b, c. Então a expressão: a sen(B - C) + b sen(C - A) + c sen(A - B) tem um valor que satisfaz uma das seguintes alternativas:

(A) a sen A + b sen B + c sen C.
(B) sen² Â + sen² B + sen² C.
(C) 0.
(D) 1.
(E) NDA.

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Questão 22: Considere a circunferência C que passa pelos pontos (0,0), (2,0) e (0,2) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Uma das retas tangentes a esta circunferência, que passa pelo ponto (3,5), tem por equação

(A) x + y - 3 = 0.
(B) 7x - y + 8 = 0.
(C) x - y + 2 = 0.
(D) 6x - y - 16 = 0.
(E) NDA.

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Questão 23: Se, na figura abaixo, c é uma circunferência de raio R, r e s são retas tangentes à circunferência e OT = 2R então o ângulo α das retas r e s deve verificar uma das alternativas seguintes:

(A) sen [tex3]α=\frac{4}{5}[/tex3] e cos [tex3]α=\frac{3}{5}[/tex3]
(B) cos [tex3]α=\frac{4}{5}[/tex3] e sen [tex3]α=\frac{3}{5}[/tex3]
(C) sen [tex3]α=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] e cos [tex3]α=\frac{1}{2}[/tex3]
(D) cos [tex3]α=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] e sen [tex3]α=\frac{1}{2}[/tex3]
(E) NDA.
(****) Há uma Figura nessa questão

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Questão 24: A respeito da equação exponencial [tex3]4^{x}+6^{x}=9^{x}[/tex3] podemos afirmar que:

(A) [tex3]x=9\log _{10}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz
(B) [tex3]x=\[\log _{10}\left(\frac{3}{2}\right)\]^{-1}\cdot \log _{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz
(C) [tex3]x=\[\log _{10}\left(\frac{3}{2}\right)\]^{-1}\cdot \log _{10}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz
(D) [tex3]x=\[\log _{10}\left(\frac{3}{2}\right)\]^{-1}\cdot \log _{10}\left(\frac{1+\sqrt{6}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz
(E) NDA.

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Questão 25: Seja [tex3]S=\log _3(\tg \ x_1)+\log _3(\tg \ x_2)+\log _3(\tg \ x_3)+... [/tex3] onde [tex3]x_1=\frac{\pi }{3}[/tex3] e [tex3]x_{n+1}=arc\ \tg \(\sqrt{\tg \ x_n}\)[/tex3], n = 2, 3, …..
Nestas condições, podemos assegurar que:

(A) [tex3]S=\log _3(\tg x _1+\tg x _2+\tg x _3+...)[/tex3]
(B) S = -1.
(C) S = 2.
(D) S = 1.
(E) NDA.