Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 106 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Calcular o máximo valor inteiro de "PA +PB +PC". Se:
MB = NC = 12 , AC = 15, BN = 9,
[tex3]\alpha [/tex3] < 90 º e [tex3]\theta [/tex3] > 90º .
Se sabe que AB e BC tomam seu mínimo e máximo valor inteiro respectivamente.

Resposta

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Gabarito: 41

[petrasMOD]

O triângulo (BNC) satisfaz: (BN=9), (NC=12) e o ângulo formado por esses dois lados é agudo.
Se fosse reto, o valor de (BC) seria (\sqrt{9^2+12^2}=15).
Como é agudo, é necessariamente **menor**, e assim o **máximo valor inteiro de (BC) é 14**.
É um valor possível, pois existe um triângulo com lados (12,14,15), bastando observar que satisfazem a desigualdade triangular.

* O triângulo (AMB) satisfaz: (MN=12).
Como o ângulo oposto a (AB) é obtuso, necessariamente (AB>MN) e, portanto, o **mínimo valor inteiro de (AB) é 13**.
É um valor possível porque existe um triângulo obtusângulo com lado maior (13) e outro lado (12) (como caso extremo toma-se (MA=1) e o ângulo obtuso de (180^\circ); aumentando-o ligeiramente, por continuidade obtém-se um ângulo obtuso um pouco menor).

Portanto, o triângulo (ABC) é de lados (13,14,15).
O **máximo da soma das distâncias de um ponto interior aos vértices** é atingido em um dos vértices e, portanto, é a soma de dois dos lados.
No nosso caso, a **maior soma é (14+15=29)**.
Se quisermos que o ponto seja estritamente interior, o **máximo valor inteiro da soma** é então (28).

Solução:LuisFuentes)