ITA 1976 ⇒ (ITA-1976) - (Apenas para Consulta) - Prova Completa

[JigsawMOD]

MINISTÉRIO DA AERONAUTICA
DEPARTAMENTO DE PESQUISAS E DESENVOLVIMENTO
CENTRO TÊCNICO AEROESPACIAL
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO - 1976
EXAME DE MATEMATICA
INSTRUÇÕES

1. A duração da prova é de 3 horas.
2. A prova de Matemática consta de 25 questões de Múltipla-Escolha.
3. O caderno de questões contém 5 páginas.
4. Só há uma resposta certa para cada questão.
5. N.D.R.A, significa "nenhuma das respostas anteriores"
6. Na FOLHA DE RESPOSTA não deixe de responder nenhuma questão; assinale com um simples traço, em cada questão, o espaço correspondente à resposta que lhe parecer mais correta.
7. Observe cuidadosamente o n° das questões ao respondê-las.
8. Seja cauteloso ao transportar as respostas da FOLHA para O CARTÃO DE RESPOSTAS.
9. Assinale no CARTÃO DE RESPOSTAS com um traço curto o forte de lápis, o espaço correspondente à sua resposta para cada questão.
10. Se você cometer algum engano no CARTÃO DE RESPOSTAS, use borracha.
Neste caso, tome cuidado para evitar rasuras, dobras, etc.
11. O agente fiscal fornecerá papel para rascunho, o qual não será considerado na correção da prova.
12. Não será permitido o uso de tabelas, régua de cálculo, máquina de
    calcular, apontamentos, formulários e outros papéis, a nao ser os fornecidos pelo fiscal.
13. Lidas as presentes instruções e preenchido o cabeçalho da FOLHA DE RESPOSTAS, aguarde ordem do fiscal para iniciar o exame.

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Questão 01: Considere [tex3]g: \{a,\,b,\,c\} \to \{a,\,b,\,c\}[/tex3] uma função tal que [tex3]g(a) = b[/tex3] e [tex3]g(b) = a[/tex3]
Então temos:

(A) a equação [tex3]g(x) = x[/tex3] tem solução se, e somente se, [tex3]g[/tex3] é injetora.
(B) [tex3]g[/tex3] é injetora, mas não é sobrejetora.
(C) [tex3]g[/tex3] é sobrejetora, mas não é injetora.
(D) se [tex3]g[/tex3] não é sobrejetora, então [tex3]g(g(x)) = x[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] em [tex3]\{a,b, c\}[/tex3].
(E) N.D.R.A.

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Questão 02: Sejam [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] conjuntos infinitos de números naturais. Se [tex3]f: A \to B[/tex3] e [tex3]g: B \to A[/tex3] são funções tais que [tex3]f(g(x)) = x[/tex3], para todo [tex3]x[/tex3] em [tex3]B[/tex3] e [tex3]g(f(x)) = x[/tex3], para todo [tex3]x[/tex3] em [tex3]A[/tex3], então, temos:

(A) existe [tex3]x_0[/tex3] em [tex3]B[/tex3], tal que [tex3]f(y) = x_0[/tex3], para todo [tex3]y[/tex3] em [tex3]A[/tex3].
(B) existe a função inversa de [tex3]f[/tex3].
(C) existem [tex3]x_0[/tex3] e [tex3]x_1[/tex3] em [tex3]A[/tex3], tais que [tex3]x_0 \ne x_1[/tex3] e [tex3]f(x_0) = f(x_1)[/tex3].
(D) existe [tex3]a[/tex3] em [tex3]B[/tex3], tal que [tex3]g(f(g(a))) \ne g(a)[/tex3].
(E) N.D.R.A.

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Questão 03: Suponhamos que [tex3]z_1 = a + xi[/tex3] e [tex3]z_2 = a + yi,\, a \ne 0,\, x \ne 0[/tex3], são dois números complexos, tais que [tex3]z_1\cdot z_2 = 2[/tex3]. Então temos:
(Obs.: [tex3]\bar{z}[/tex3] indica conjugado de [tex3]z[/tex3])

(A) [tex3]z_1 = \overline{z_2}\text{ e }| z_1 | = | z_2 | = 2[/tex3].
(B) [tex3]z_1 = z_2\text{ e }| z_1 | = | z_2 | = \sqrt{2}[/tex3].
(C) [tex3]z_1 = \overline{z_2}\text{ e }| z_1 | = | z_2 | = \sqrt{2}[/tex3].
(D) [tex3]z_1 + z_2 = 2a\text{ e }a^2 + y^2 = 4[/tex3].
(E) N.D.R.A.

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Questão 04: As raízes de ordem 4 do número [tex3]z=e^{\frac{\pi i}{2}}[/tex3] , onde [tex3]i[/tex3] é a unidade imaginária, são:

(A) [tex3]z_k=\cos \theta +i\sen\theta _k[/tex3], onde [tex3]\theta _k=\frac{1+4k}{8}\pi [/tex3], com [tex3]k = 0,\,1,\,2,\,3[/tex3].
(B) [tex3]z_k=e^{i\theta _k}[/tex3], onde [tex3]\theta _k=\frac{1+3k}{8}\pi [/tex3], com [tex3]k = 0,\,1,\,2,\,3[/tex3].
(C) [tex3]z_k=e^{i\theta _k}[/tex3], onde [tex3]\theta _k=4k\pi [/tex3], com [tex3]k = 0,\,1,\,2,\,3[/tex3].
(D) [tex3]z_k=e^{i\theta _k}[/tex3], onde [tex3]\theta _k=\frac{1-4k}{8}\pi [/tex3], com [tex3]k = 0,\,1,\,2,\,3[/tex3].
(E) N.D.R.A.

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Questão 05: Os valores reais [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3], tais que os polinômios [tex3]x^{3}-2ax^{2}+(3a+b)x-3b[/tex3] e [tex3]x^{3}-(a+2b)x+2a[/tex3] sejam divisíveis por [tex3]x + 1[/tex3], são:

(A) dois números inteiros positivos.
(B) dois números inteiros negativos.
(C) números inteiros, sendo que um é positivo e o outro negativo.
(D) dois números reais, sendo um racional e o outro irracional.
(E) N.D.R.A.

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Questão 06: Se designarmos por [tex3]S_n[/tex3] a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos de uma progressão geométrica de infinitos termos, de razão [tex3]q > 1[/tex3] e primeiro termo [tex3]a_1 > 0[/tex3], podemos afirmar que:

(A) [tex3]\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}=\frac{S_{2n}-S_n}{S_{3n}-S_{2n}}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}=\frac{S_{2n}}{S_{3n}-S_{2n}}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}=S_{3n}-S_n[/tex3]
(D) [tex3]S_{3n}=S_{2n}+S_n[/tex3]
(E) N.D.R.A.

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Questão 07: Dado um paralelepípedo retângulo, de volume [tex3]V[/tex3], cujas arestas estão em progressão geométrica, de razão [tex3]q[/tex3], podemos garantir que sua área total é dada por:

(A) [tex3]\frac{2V^{\frac{2}{3}}}{q}(q^{2}+q+1)[/tex3]
(B) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q}(q^{2}+q-1)[/tex3]
(C) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q+1}(q^{2}+q+1)[/tex3]
(D) [tex3]\frac{V^{2}}{q^{3}}(q+1)[/tex3]
(E) N.D.R.A.

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Questão 08: Numa superfície esférica de área [tex3]A > 1[/tex3], considere inscrito um cone, tal que a área de sua base seja igual à sua altura. Nestas condições, temos que o volume do cone é dado por:

(A) [tex3]V=\frac{1}{3}\pi ^{2}A^{\frac{3}{2}}[/tex3]
(B) [tex3]V=\frac{1}{3}\pi A^{2}[/tex3]
(C) [tex3]V=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{\pi A}-1}{\pi }\right)^{2}[/tex3]
(D) [tex3]V=\frac{1}{3}\pi \(A^{\frac{3}{2}}-1\)[/tex3]
(E) N.D.R.A.

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Questão 09: Considere um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio [tex3]R[/tex3]. Designando por [tex3]H,\, a,\, h[/tex3] e [tex3]V[/tex3], respectivamente, a altura, a aresta, a altura da base e o volume desse tetraedro, temos:

(A) [tex3]V=\frac{2\sqrt{3}}{3}R^{3}[/tex3] e [tex3]h=\frac{3\sqrt{2}}{4}H[/tex3];
(B) [tex3]V=8\sqrt{3}R^{3}[/tex3] e [tex3]a=\frac{\sqrt{6}}{2}H[/tex3]
(C) [tex3]V=\frac{4\sqrt{2}}{3}R^{3}[/tex3] e [tex3]H=4R[/tex3];
(D) [tex3]V=6\sqrt{2}R^{3}[/tex3] e [tex3]H=4R[/tex3];
(E) N.D.R.A.

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Questão 10: Seja A uma função real de variável real x, tal que:
[tex3]e^{2x}-2e^{x}\cdot A(x)+1=0[/tex3], para todo número real x. Nestas condições, temos:

(A) A(0) = 1, A(x) = A(-x), para todo número real x e não existe um número real x ≠ 0, satisfazendo a relação A(x) = -1.
(B) A(0) = 1 e A(x) = 0, para algum número real x.
(C) A(1) < 0 e A(x) = A(-x), para todo número real x.
(D) nao existe um numero real x, nao nulo, satisfazendo a relação A(x) = 1 e nao existe um numero real x, satisfazendo A(x) = A(-x).
(E) N.D.R.A.

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Questão 11: Considere a seguinte função real de variável real
[tex3]M=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{-x}+e^{x}}[/tex3]
Então:

(A) Para todo x > 1, ocorre: M(x) > 1.
(B) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M(-x) = - M(x) e 0 ≤ M(x) < 1.
(C) Existem: um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que: M(a) < M(b).
(D) M(x) = 0, somente quando x = 0 e M(x) > 0 apenas quando x < 0.
(E) N.D.R.A.

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Questão 12: No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados?
Obs.: Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de zero.

(A) 2⁴.3².5
(B) 2⁵.3.7
(C) 2⁴.3³
(D) 2⁵.3²
(E) N.D.R.A.

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Questão 13: Em relação à equação [tex3]x^{\log _4\sqrt{x}}-x^{\log _4x}-2[/tex3], x > 0, temos:

(A) admite apenas uma raiz, a qual é um número inteiro positivo.
(B) não admite uma raiz inteira satisfazendo a relação: 0 < x < 35.
(C) todas as suas raízes são números irracionais.
(D) admite uma raiz inteira x₁ e admite uma raiz fracionária x₂, tais que:

[tex3]x_1^{3}+x_2^{3}=\frac{4097}{64}[/tex3]
(E) N.D.R.A.

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Questão 14: Seja Q uma matriz 4 x 4, tal que
det Q ≠ 0 e Q³ + 2 Q² = 0
Então, temos:
(Det Q indica determinante de Q)

(A) det Q = 2.
(B) det Q = -2.
(C) det Q = -16.
(D) det Q = 16.
(E) N.D.R.A.

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Questão 15: Se P = [tex3]\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & -1 & 1 \\
\sqrt{2} & 1 & -1 \\
0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\
\end{vmatrix}[/tex3] é matriz 3 x 3, então uma solução
da equação (P + X)² = P² + X² + 2PX é:

(A) X = [tex3]\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\
0 & 1 & \sqrt{2} \\
1 & -1 & \sqrt{2} \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(B) X = [tex3]\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\
1 & 1 & \sqrt{2} \\
1 & -1 & \sqrt{2} \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(C) X = [tex3]\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\
-1 & 1 & \sqrt{2} \\
1 & -1 & \sqrt{2} \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(D) X = [tex3]\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\
-\sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & -1 & \sqrt{2} \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(E) N.D.R.A.

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Questão 16: Considere a matriz 3 x 3
M = [tex3]\begin{vmatrix}
M_{11} & M_{12} & M_{13} \\
M_{21} & M_{22} & M_{23} \\
M_{31} & M_{32} & M_{33} \\
\end{vmatrix}[/tex3]
Sabendo que
[tex3]\begin{vmatrix}
M_{11} & M_{12} & M_{13} \\
M_{21} & M_{22} & M_{23} \\
M_{31} & M_{32} & M_{33} \\
\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}
2 \\
6 \\
4 \\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{vmatrix}[/tex3]
então, temos:

(A) det M é um número positivo.
(B) Existe uma matriz P, 3 x 3, tal que:
MP = [tex3]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}[/tex3]
(C) M₂₁ = -3M₂₂ - 2M₂₃.
(D) se M₂₁ = 3M₂₂ + 2M₂₃, então M₂₁ ≠ 0.
(E) N.D.R.A.

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Questão 17: A inequação [tex3]4\sen ^{2}x-2\(1+\sqrt{2}\)\sen x +\sqrt{2}<0[/tex3] tem uma solução x, tal que:

(A) 45° < x < 60°.
(B) 0° < x < 30°
(C) 35° < x < 45° .
(D) 60° < x < 75º.
(E) N.D.R.A.

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Questão 18: Resolvendo a equação:
[tex3]3\sen ^{2}(e^{x})-2\sqrt{3}\cdot \sen (e^{x})\cdot \cos (e^{x})-3\cos ^{2}(e^{x})=0[/tex3]
obtemos:

(A) [tex3]e^{x}=k\pi \pm \frac{\pi }{4}[/tex3], k = 0, 1, 2, 3, ....
(B) [tex3]x=\log _e\(2k\pi \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\pi \)[/tex3], k = 0, 1, 2, 3, ....
(C) [tex3]e^{x}=k\pi + \frac{\pi }{3}[/tex3], k = 0, 1, 2, 3, ....
(D) [tex3]x=\log _e\(\frac{k}{2}\pi -\frac{\pi }{6}\)[/tex3], k = 0, 1, 2, 3, ....
(E) N.D.R.A.

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Questão 19: A respeito do produto:
P = (sen(bx) + cosec(bx))(cos(bx) + sec(bx))(tg(bx) + cotg(bx))
podemos afirmar que:

(A) P é positivo, para todo x real e b > 0.
(B) P pode ser negativo ou positivo, dependendo da escolha de x e b em R.
(C) P é negativo para x = kπ e b < 0 ou P é positivo para x = kπ e b > 0, quando k = 1, 2, …
(D) P é positivo, quando bx ≠ k/2 π, para todo k = 0, ±­1, ±­2, ...
(E) N.D.R.A.

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Questão 20: A soma dos quadrados das raízes da equação
[tex3]x^{3}+\sqrt{5}x^{2}+2\sqrt{3}x+8=0[/tex3]
é igual a:

5.
(B) 5 - 4[tex3]\sqrt{3}[/tex3].
(C) 12.[tex3]\sqrt{5}[/tex3].
(D) 9 + [tex3]\sqrt{5} + 2\sqrt{3}[/tex3].
(E) N.D.R.A.

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Questão 21: Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere P₁ a circunferência de equação
[tex3]2x^{2}+2y^{2}-11x+6y-8=0[/tex3].
Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de P₁ é dada por:
(A) [tex3]\(x+\frac{3}{2}\)^{2}+\(y-\frac{11}{4}\)^{2}=\frac{4}{9}[/tex3]
(B) [tex3]\(x+\frac{4}{11}\)^{2}+(y-2)^{2}=\frac{2}{3}[/tex3]
(C) [tex3]\(x-\frac{11}{4}\)^{2}+\(y+\frac{3}{2}\)^{2}=\frac{9}{4}[/tex3]
(D) [tex3]2x^{2}+2y^{2}-11x+6y-\frac{1}{8}=0[/tex3]
(E) N.D.R.A.

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Questão 22: Em que intervalo estão as raízes reais da equação
[tex3]x^{5}-5x^{4}+2x^{3}-6x-9=0[/tex3] ?

(A) [150, 200].
(B) [-14, -12].
(C) [12,13].
(D) [-10,10].
(E) N.D.R.A.

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Questão 23: A equação [tex3]4x^{3}-3x^{2}+4x-3=0[/tex3] admite uma raiz igual a i (unidade imaginária). Deduzimos, então, que

(A) tal equação não admite raiz real menor que 2.
(B) tal equação admite como raiz um número racional.
(C) tal equação não admite como raiz um número positivo.
(D) tal equação não possui raiz da forma bi, com b < 1.
(E) N.D.R.A.

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Questão 24: Considere as equações
[tex3]x^{2}+y^{2}=axy[/tex3] (I)
[tex3]x^{4}+y^{4}=bx^{2}y^{2}[/tex3] (II)
com a e b constantes reais e assuma que P = a² - (b+2). Nestas condições, temos:

(A) Para todos a e b reais, satisfazendo a relação P = 0, existe uma solução de (I) que não é solução de (II).
(B) Para todos a e b reais, satisfazendo a relação P = 0, ocorre: qualquer solução de (I) é também solução de (II).
(C) Para todos a e b reais, satisfazendo a relação P = 0, apenas o par (x, y) = (0,0) é solução, simultaneamente de (I) e (II).
(D) Para todos a e b reais, satisfazendo a relação P ≠ 0, o par (x,y) = (1 + [tex3]\sqrt{π},\, 1 - \sqrt{π}[/tex3]) é solução, simultaneamente, de (I) e (II).
(E) N.D.R.A.

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Questão 25: Suponha que a₁, a₂,..., a_n são números reais positivos, com n ≥ 2 e que a₁ x a₂ x ... x a_n = 4. Nesta situação, a respeito do produto
P = (1 + a₁) (1 + a₂) ... (1 + a_n), temos

(A) P ≥ 2ⁿ⁺³.
(B) P ≥ 5ⁿ.
(C) P ≥ 2ⁿ⁺¹.
(D) P ≥ 5ⁿ⁺¹.
(E) N.D.R.A.