ITA 1977 ⇒ (ITA-1977) - (Apenas para Consulta) - Prova Completa

[JigsawMOD]

MINISTÉRIO DA AERONAUTICA
DEPARTAMENTO DE PESQUISAS E DESENVOLVIMENTO
CENTRO TÊCNICO AEROESPACIAL
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO - 1977
EXAME DE MATEMATICA
INSTRUÇÕES
1. A duração da prova é de 4 (quatro) horas.
2. A prova de Matemática consta de 25 questões de múltipla escolha.
3. Só há uma resposta certa em cada questão.
4. NÃO DEIXE DE RESPONDER NENHUMA QUESTÃO. QUANDO EM DÚVIDA, ASSINALE A RESPOSTA QUE LHE PARECER MAIS CORRETA.
5. Questões não respondidas ocasionam rejeição do cartão pelo computador, podendo prejudicar o candidato.
6. Assinale com um traço curto e forte de lápis o espaço correspondente a cada questão
7. Verificando algum engano nas respostas poderá corrigí-la usando borracha macia.
8. O agente fiscal fornecerá papel para rascunho, o qual não será considerado na correção da prova.
9. Não será permitido o uso de tabelas, régua de cálculo, maquina de calcular, apontamentos, formulários e outros papéis a não ser os fornecidos pelo fiscal.
10. O caderno de questões contém páginas numeradas de 1 a 8.
11. N.D.A significa "nenhuma das respostas anteriores".
12. Indicaremos por R o conjunto dos números reais.
13. Vamos designar o limite:
[tex3]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}[/tex3]= 2, 71828... pela letra e.
14. log x significa logarítmo neperiano de x, isto é, na base e.
15. A_m,k é o número de arranjos simples de m elementos tomados k a k.
16. Denotaremos o módulo de um número x por | x |.
17. Denotaremos o comprimento de um segmento de reta AB por AB .
18. Lidas as presentes instruções e preenchido o cabeçalho da folha de respostas
aguarde ordem do fiscal para iniciar o exame.

QUESTÕES DE MATEMATICA

Questão 01: Se P(x) é um polinômio de 5° grau que satisfaz as condições
1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0 então temos:
(A) P (0) = 4.
(B) P (0) = 3.
(C) P(0) = 9.
(D) P (0) = 2.
(E) N.D.A.

Questão 02: Se S é a área total de um cilindro reto de altura h e se m é a razão direta entre a área lateral e a soma das áreas das bases, então o valor de h é dado por:
(A) [tex3]h=m\sqrt{\frac{S}{2\pi (m+1)}}[/tex3]
(B) [tex3]h=m\sqrt{\frac{S}{4\pi (m+2)}}[/tex3]
(C) [tex3]h=m\sqrt{\frac{S}{2\pi (m+2)}}[/tex3]
(D) [tex3]h=m\sqrt{\frac{S}{4\pi (m+1)}}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 03: Seja R o corpo dos números reais. Em relação à equação
5x³ - 15x² - 15х - 20 = 0, x ∈ R, podemos afirmar que:
(A) não contém solução inteira.
(B) tem somente uma solução.
(C) tem somente duas soluções distintas.
(D) tem três soluções distintas.
(E) N.D.A.

Questão 04: Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio R tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale R/m (m ≥ 1). Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:
(A) [tex3]\frac{2}{3}\pi R^{3}\left(\frac{m-1}{m}\right)^{2}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{2}{3}\pi R^{3}[1-\left(\frac{m+1}{m}\right)^{2}][/tex3]
(C) [tex3]\frac{2}{3}\pi R^{3}\left(\frac{m+1}{m}\right)^{2}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{2}{3}\pi R^{3}[1+\left(\frac{m-1}{m}\right)^{2}][/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 05: Seja D = {x ∈ R | x ≠ Iog [tex3]\frac{nπ}{2}[/tex3], n = 1, 2, 3, …). Com respeito à função f: D → R, definida por [tex3]f(x)=\frac{sen(3e^{x})}{sen\ e^{x}}-\frac{cos(3e^{x})}{cos\ e^{x}}[/tex3] podemos afirmar que:
(A) f(x) = 2 para todo x em D.
(B) f(x) = 3 para todo x em D.
(C) f(x) = e³ para todo x em D.
(D) f(x) não é constante em D.
(E) N.D.A.

Questão 06: Consideremos m elementos distintos. Destaquemos k dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles m elementos tomados n a n (A_m,n) podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, r (r < n) dos k elementos destacados?
(A) (n - r - 1) A_k,rA_m-k,n-r
(B) (n - r + 1) A_k,rA_m-k,n-r
(C) (n - r - 1) A_k,rA_m-r,n-k
(D) (n - r + 1) A_k,rA_m-k,n-r
(E) N.D.A.

Questão 07: Seja p um plano. Sejam A, B, C e D pontos de p e M um ponto qualquer nao pertencente a p. Então:
(A) Se C dividir o segmento AB em partes iguais e MA = MB, então o segmento MC é perpendicular a p.
(B) Se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A, B e C, então o segmento MD é perpendicular a p.
(C) Se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A, B e C, então MA = MB = MC implica em que o segmento MD é perpendicular a p.
(D) Se ABC for um triângulo equilátero e o segmento MD for perpendicular a p, então D é equidistante de A, B e C.
(E) N.D.A.

Questão 08: Resolvendo a equação [tex3]tg\left(2logx-\frac{\pi }{6}\right)-tg\left(logx+\frac{\pi }{3}\right)[/tex3] temos:
(A) [tex3]x=\frac{\pi }{3}+k\pi [/tex3]; k = 0, 1, 2, ...
(B) [tex3]x=e^{\frac{\pi }{2}\pm k\pi }[/tex3]; k = 0, 1, 2, ...
(C) [tex3]logx=\frac{\pi }{6}\pm k\pi [/tex3]; k = 0, 1, 2, ...
(D) [tex3]x=e^{\frac{\pi }{6}\pm 2k\pi }[/tex3]; k = 0, 1, 2, ...
(E) N.D.A.

Questão 09: Sendo [tex3]S_k=1+2x+3x^{2}+...+(k+1)x^{k}[/tex3], onde x > 1 e k é um inteiro maior que 2, então, se n é um inteiro maior que 2:
(A) [tex3]S_n=\frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}[/tex3]
(B) [tex3]S_n=\frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}-\frac{(n+1)}{1-x}x^{n+1}[/tex3]
(C) [tex3]S_n=\frac{1+x^{n+1}}{(1-x)}-\frac{(n+2)}{(1-x)^{2}}x^{n+1}[/tex3]
(D) [tex3]S_n=\frac{1+x^{n+1}}{(1-x)^{2}}-\frac{(n+2)}{(1-x)}x^{n+1}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 10: Os valores reais de a e b, para os quais as equações [tex3]x^{3}+ax^{2}+18=0[/tex3] e [tex3]x^{3}+bx+12=0[/tex3] têm duas raízes comuns, são:
(A) a = 1; b = 2.
(B) a = -1; b = 4.
(C) a = 5; b = 3.
(D) a = -4; b = 1.
(E) N.D.A.

Questão 11: Considere a função F (x) = | x² - 1 | definida em R. Se FoF representa a função composta de F com F, então:
(A) (FoF) (x) = x | x² - 1 |, para todo x real.
(B) Não existe número real y, tal que (FoF) (y) = y.
(C) FoF é uma função injetora.
(D) (FoF)(x) = 0, apenas para dois valores reais de x.
(E) N.D.A.

Questão 12: Considere um triângulo ABC cujos ângulos internos Â, B e C verificam a relação [tex3]sen\ A=tg\frac{B+C}{2}[/tex3]. Então podemos afirmar que:
(A) Com os dados do problema, não podemos determinar  nem B e nem C.
(B) Um desses ângulos é reto.
(C) [tex3]A=\frac{\pi }{6}[/tex3] e [tex3]B+C=\frac{5\pi }{6}[/tex3]
(D) [tex3]A=\frac{\pi }{3}[/tex3], [tex3]B=\frac{\pi }{4}[/tex3], [tex3]C=\frac{5\pi }{12}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 13: Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61473 será:
(A) 76ª
(B) 78ª
(C) 80ª.
(D) 82ª.
(E) N.D.A.

Questão 14: Se [tex3]\frac{6-5x}{x^{3}-5x^{2}+6x}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}[/tex3] onde A, B e C são reais e a, b e c são raízes da equação x³ - 5x² + 6x = 0, então:
(A) A = -2; B = -1; C = 0.
(B) A = 2; B = 4; C = 1.
(C) A = 1; B = -3; C = 2.
(D) A = 5; B = 2; C = 1.
(E) N.D.A.

Questão 15: Sejam d e L respectivamente os comprimentos da diagonal BD e do lado BC do paralelogramo ABCD abaixo. Conhecendo-se os ângulos α e β (ver figura), o comprimento x do lado AB é dado por:
(A) [tex3]x=\frac{d\ cos\ \alpha }{cos(\alpha +\beta)}[/tex3]
(B) [tex3]x=\frac{d\ sen\ \alpha }{sen(\alpha +\beta)}[/tex3]
(C) [tex3]x=\frac{L\ sen\ \alpha }{cos(\alpha +\beta)}[/tex3]
(D) [tex3]x=\frac{L\ cos\ \alpha }{sen(\alpha +\beta)}[/tex3]
(E) N.D.A.
(****) Há uma Figura nessa questão

Questão 16: Sejam A, B e C três pontos distintos de uma reta, com B entre A e C. Sejam a e b (a > 2b) os comprimentos de AB e BC respectivamente. Se o segmento BD é perpendicular ao segmento AC, quanto deve medir BD, para que o ângulo BDC seja a metade de BDA?
(A) [tex3]x=\frac{a}{\sqrt{b(a-2b)}}[/tex3]
(B) [tex3]x=\frac{ab}{\sqrt{b(a-2b)}}[/tex3]
(C) [tex3]x=\frac{b}{\sqrt{a(a-2b)}}[/tex3]
(D) [tex3]x=\frac{ab}{\sqrt{a(a-2b)}}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 17: Supondo a < b, onde a e b são constantes reais, considere a função H (x) = a + (b - a)x definida no intervalo fechado (0,1). Podemos assegurar que.
(A) H não é uma função injetora.
(B) Dado qualquer y, b, sempre existe um x em [0, 1] satisfazendo H(x) = y.
(C) Para cada y, com a < y < b, corresponde um único real x, com 0 < x < 1, tal que H(x) = y.
(D) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado (a, b), satisfazendo a relação G(H(x)) = x, para cada x em (0,1).
(E) N.D.A.

Questão 18: No conjunto dos números reais, a desigualdade [tex3]log_{\frac{1}{3}}(log_4(x^{2}-5))>0[/tex3] é verdadeira para:
(A) [tex3]\sqrt{5}[/tex3] < | x | < 3.
(B) [tex3]\sqrt{5}[/tex3] < | x | < [tex3]\sqrt{6}[/tex3].
(C) [tex3]\sqrt{6}[/tex3] < | x | < 3.
(D) | x | > 3.
(E) N.D.A.

Questão 19: Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, uma das retas tangentes à circunferência de equação x² + y² + 2x + 4y - 20 = 0, passando pelo ponto P₀(-2, 5), tem por equação:
(A) 3x - y + 1 = 0.
(B) x + y - 3 = 0.
(C) x + 3y - 13 = 0.
(D) 4x - 3y + 23 = 0.
(E) N.D.A.

Questão 20: Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da circunferência que passa pelos pontos P₁(0,-3) e P₂(4,0), e cujo centro está sobre a reta x + 2y = 0, é:
(A) 5(x² + y²) + 2x + 3y = 0.
(B) 5(x² + y²) -14x + 7y - 24 = 0.
(C) x² + y² + 4x - 2y - 15= 0.
(D) x² + y² - 2x + y + 5 = 0.
(E) N.D.A.

Questão 21: Seja [tex3]X=\begin{pmatrix}
1 & m \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] uma matriz quadrada 2 x 2 onde m é um número inteiro qualquer. Se P = (a_ij) é uma matriz definida por [tex3]P=X^{n}+X^{n-1}+X^{n-2}+...+X[/tex3], onde n é um número inteiro positivo (n ≥ 1), então podemos afirmar que:
(A) Um elemento a_ij da matriz P é igual a [tex3]m\frac{n(n+1)}{2}[/tex3]
(B) Um elemento a_ij da matriz P é igual a [tex3]m\frac{n(n-1)}{2}[/tex3]
(C) Um elemento a_ij da matriz P é igual a [tex3]n\frac{m(m-1)}{2}[/tex3]
(D) P é uma matriz cujos elementos são todos inteiros, se, e somente se, m é par.
(E) N.D.A.

Questão 22: Qual o valor de b (b > 0) na expressão bx + a, sabendo-se que ao elevarmos este binômio a uma determinada potência inteira e positiva, uma das parcelas do desenvolvimento é 6840a¹⁸x²?
(A) um número par maior que 8.
(B) um número impar maior que 8.
(C) um número par menor que 8.
(D) um número ímpar menor que 8.
(E) N.D.A.

Questão 23: O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a este polígono, é dado por:
(A) 2n(n-2)
(B) 2n(n-1)
(C) 2n(n-3)
(D) [tex3]\frac{n(n-5)}{2}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 24: O ângulo da geratriz com o eixo de um cone de revolução mede 30°. Se S é a área de sua secção reta a uma distância h do vértice, qual a relação entre S e h?
(A) [tex3]S=\frac{πh^{2}}{2}[/tex3]
(B) [tex3]S=\frac{3π}{2}h^{2}[/tex3]
(C) [tex3]S=\frac{πh^{2}}{3}[/tex3]
(D) [tex3]S=\frac{2π}{3}h^{2}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 25: Seja
(k₁ + k₂)x + (k₂ - k₃)y + (k₁ - k₃)z = 0
(k₂ - k₁)x + (k₂ + k₃)y + (k₃ - k₁)z = 0
(k₁ - k₂)x + (k₃ - k₂)y + (k₃ + k₁)z = 0
um sistema homogêneo de equações lineares reais em x, y e z. Com respeito ao sistema acima podemos afirmar:
(A) Se k₁ ≠ ±­ k₂, k₁ ≠ ± ­k₃ e k₂ ≠ ±­ k₃, então o sistema só admite solução trivial.
(B) Se [tex3]k_1^{2}+k_2^{2}+k_3^{2}\neq 0[/tex3], então o sistema só admite solução trivial.
(C) O sistema admite solução não trivial, se e somente se [tex3]k_1^{2}+k_2^{2}+k_3^{2}=0[/tex3].
(D) Se k₁ ≠ 0, k₂ ≠ 0 e k₃ ≠ 0, então o sistema só admite solução trivial.
(E) N.D.A.
Obs.: Uma solução de um sistema homogêneo de equações lineares em x, y e z é chamada de trivial se x = y = z = 0.