Física III ⇒ Capacitor Esférico Tópico resolvido

[FilipeCaceres]

O raio da armadura externa de um capacitor esférico é R e o da armadura interna r é escolhido de maneira que o capacitor trabalhe na seu valor máximo possível de diferença de potencial. Determinar este valor máximo [tex3]V_o[/tex3] sabendo que a rigidez dielétrica do ar é [tex3]E_o[/tex3].

[GiovanaMSPMOD]

Para um capacitor esférico vale que sua capacitância é dada por:

[tex3]\mathrm{C=\frac{4\pi \epsilon _0 Rr}{R-r}}[/tex3]

Nota: nos livros como o Halliday ou Sears encontra-se a demonstração desta fórmula para capacitares esféricos.

Se a armadura interna possui carga [tex3]\mathrm{Q}[/tex3], o campo elétrico a uma distância [tex3]\mathrm{x,x\in [r,R]}[/tex3], do centro é dada por:

[tex3]\mathrm{E(x)=\frac{Q}{4\pi \epsilon _0 x^{2}}}[/tex3]

A diferença de potencial entre as armaduras é dada por:

[tex3]\mathrm{V=\int\limits_{r}^{R}E(x)dx=\frac{Q}{4\pi \epsilon _0 }\int\limits_{r}^{R}\left(\frac{1}{x^2}\right)dx=\frac{Q}{4\pi \epsilon _0 }\left(\frac{R-r}{Rr}\right)}[/tex3]

A rigidez dielétrica do ar é [tex3]\mathrm{E_0}[/tex3], ou seja, o campo máximo suportado sem ruptura é [tex3]\mathrm{E_0}[/tex3]. Em [tex3]\mathrm{x=r}[/tex3] o campo elétrico é máximo na superfície da esfera interna, tal que:

[tex3]\mathrm{E_{M\acute{a}x}\leq E_{0}\ \leftrightarrow\ \frac{Q}{4\pi \epsilon _0 r^{2}}\leq E_{0}\ \therefore\ Q_{M\acute{a}x}=4\pi \epsilon _0 r^{2}E_{0}}[/tex3]

Assim:

[tex3]\mathrm{V_0 = \frac{Q_{M\acute{a}x}}{4\pi \epsilon _0 }\left(\frac{R-r}{Rr}\right)= \frac{4\pi \epsilon _0 r^{2}E_{0}}{4\pi \epsilon _0 }\left(\frac{R-r}{Rr}\right)=E_{0}r\left(\frac{R-r}{R}\right)=\frac{E_0}{R}f(r)}[/tex3]

Note, então, que [tex3]\mathrm{V_0}[/tex3] está explicitado em função de [tex3]\mathrm{f(r)}[/tex3]. Para encontrarmos o valor máximo podemos derivar a expressão obtida, mas vou fazer de outro jeito utilizando o conceito de desigualdades, que eu gosto mais e também para tornar a questão mais acessível a quem não conhece cálculo diferencial e integral.

Pela desigualdade das médias, considerando [tex3]\mathrm{f(r)=r\left(R-r\right)}[/tex3], temos:

[tex3]\mathrm{M_{A}\geq M_G \ \leftrightarrow\ \frac{r+R-r}{2}\geq \sqrt{r(R-r)}=\sqrt{f(r)}\ \therefore\ f(r)\leq \frac{R^2}{4}}[/tex3]

Assim, [tex3]\mathrm{V_0}[/tex3] será máximo quando [tex3]\mathrm{f(r)=f_{M\acute{a}x}=\frac{R^2}{4}}[/tex3], o que nos leva a:

[tex3]\mathrm{V_{0}=\frac{E_0}{R}f_{M\acute{a}x}=\frac{E_0 R^2}{4R}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{V_0=\frac{E_0 R}{4}}}}[/tex3]