Física II ⇒ (Moysés) - Oscilador Harmônico Tópico resolvido

[daniloesteves1]

Não achei uma seção para física do Ensino Superior, mas acredito que esta seção seja de acordo com o nível de questões do Moysés. Vamos lá:

Um tremor de terra coloca em vibração no sentido vertical, com freqüência angular [tex3]w = 20 s^{-1}[/tex3] e amplitude [tex3]A = 4 cm[/tex3], uma plataforma horizontal, sobre a qual está colocado um bloquinho de madeira. A plataforma move-se inicialmente para cima.

a) De que altura terá subido a plataforma no momento em que o bloquinho se desprende dela ?
b) De que altura adicional se eleva o bloquinho depois que se separou da plataforma ?

Respostas:

Resposta

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a) 2,45 cm
b) 2,04 cm

[GiovanaMSPMOD]

Item A:

Seja [tex3]\mathrm{y_{p}(t)}[/tex3] a posição vertical da plataforma medida a partir da posição de equilíbrio (origem):

[tex3]\mathrm{y_{p}(t)=Asin(\omega t)\ \therefore\ v_p(t)=\frac{dy_p(t)}{dt}=A\omega cos(\omega t)\ \therefore\ a_p(t)=\frac{d^2y_p(t)}{dt^2}=\frac{dv_p(t)}{dt}=-A\omega ^2sin(\omega t)}[/tex3]

Enquanto o bloco está em contato com a plataforma, temos:

[tex3]\mathrm{\sum \overset{\to}{F}_y=\overset{\to}{0}\ \therefore\ N-Mg=Ma_p(t)}[/tex3]

O bloco se desprende da plataforma quando a normal se anula, o que nos leva a [tex3]\mathrm{a_p(t)=-g}[/tex3]. Assim:

[tex3]\mathrm{-A\omega ^2sin(\omega t)=-g\ \therefore\ sin(\omega t)=\frac{g}{A\omega ^2}\ \therefore\ y_{p}(t)=\frac{g}{\omega ^2}}[/tex3]

Substituindo valores:

[tex3]\mathrm{y_{p}(t)=\frac{9,8}{(20)^2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{y_{p}(t)\approx 2,45\ cm}}}[/tex3]

Item B:

A velocidade do bloco no instante do desprendimento é igual à velocidade da plataforma:

[tex3]\mathrm{v_{desp}=v_{p}(t)=A\omega cos(\omega t)=A\omega \sqrt{1-sin^2(\omega t)}\ \leftrightarrow\ v_{desp}^2=A^2\omega ^2\left(1-\frac{g^2}{A^2\omega ^4}\right)}[/tex3]

Por Torricelli:

[tex3]\mathrm{\cancelto{\ 0}{v^2}=v_{desp}^2-2gy_{M\acute{a}x}\ \therefore\ y_{M\acute{a}x}=\frac{1}{2}\left(\frac{\omega ^2A^2}{g} -\frac{g}{\omega ^2}\right)}[/tex3]

Substituindo valores:

[tex3]\mathrm{y_{M\acute{a}x}=\frac{1}{2}\times \left[\frac{(20) ^2\times (0,04)^2}{9,8} -\frac{9,8}{(20) ^2}\right]\ \therefore\ \boxed{\mathrm{y_{M\acute{a}x}\approx 2,04\ cm}}}[/tex3]