Pré-Vestibular ⇒ (CPMRJ-2025) Geometria Espacial (Esferas) Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Em um cubo, estão dispostas quatro esferas iguais, inscritas de modo que cada uma seja tangente às faces do cubo e também às demais esferas vizinhas. Sabendo que o volume total das quatro esferas é 48π cm³, determine o volume do cubo, aproximadamente. (Considere: [tex3]\sqrt{2}=1,4[/tex3])

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Resposta

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Gabarito A

[cajuADMIN]

Olá @ALANSILVA

Já que as esferas são tangentes aos lados do cubo, e as faces do cubo são todas perpendiculares entre si, podemos ter a vista lateral de uma face como sendo:

Agora podemos calcular a relação entre o raio [tex3]R[/tex3] das esferas e o lado [tex3]L[/tex3] do cubo.

Pela fórmula da diagonal de um quadrado, a diagonal da face do cubo vale [tex3]L\sqrt{2}[/tex3]. Podemos ver que essa diagonal é formada por 2 raios da esfera mais duas diagonais dos quadradinhos indicados na imagem. Ou seja, usando novamente a fórmula da diagonal do quadrado, podemos escrever:

[tex3]L\sqrt{2}=2R+2R\sqrt{2}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, L=R\cdot(2+\sqrt{2})\Rightarrow\boxed{L=3,4R}[/tex3]

Como o enunciado pede o volume do cubo: [tex3]V_{\text{cubo}}=L^3\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{V_{\text{cubo}}=3,4^3\cdot R^3}[/tex3]

Agora tem que encontrar o valor de [tex3]R[/tex3].

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Se o volume das 4 esferas vale [tex3]48\pi[/tex3] cm³, podemos encontrar o valor do raio:

[tex3]4\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 48\pi\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{R^3=9}[/tex3]

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Calculando o valor do volume do cubo:

[tex3]V_{\text{cubo}}=3,4^3\cdot R^3\,\,\,\longrightarrow\,\,\,V_{\text{cubo}}=3,4^3\cdot 9\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{V_{\text{cubo}}=353,736\text{ cm}^3}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju