IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Geometria Plana: Potência de Ponto Tópico resolvido

[alinebotelho]

Na figura abaixo tem-se que O é o centro do círculo, P é um ponto qualquer do seu interior, Na figura abaixo tem-se que O
é o centro do círculo, P é um ponto qualquer do seu interior, Med(PM)=Med(MB)=a e AB é tangente ao círculo em A. Se [tex3]a^2=bc[/tex3], o raio do círculo é igual a:

P50.jpg (7.1 KiB) Exibido 3620 vezes

(A) |a+c-b|
(B) |2a+c-b|
(C) |a+b-c|
(D) |2a-c|
(E) |b-c|

[cajuADMIN]

Olá alinebotelho,

Para resolver esta questão, devemos "esticar"alguns segmentos do desenho para obter a resposta:

2_potenciaP_1.jpg (12.99 KiB) Exibido 240 vezes

Note que já escrevi o comprimento de cada segmento, sendo que nomeei o segmento [tex3]DP[/tex3] como sendo [tex3]X[/tex3]. Portanto, nosso primeiro passo é descobrir quanto vale [tex3]X[/tex3].

Vamos aplicar a potência de ponto no ponto [tex3]P[/tex3]:

[tex3](R+c)\cdot (R-c) = a\cdot X[/tex3]

[tex3]R^2-c^2=a\cdot X[/tex3]

[tex3]X=\frac{R^2-c^2}{a}[/tex3]

Guardamos este valor e aplicamos a potência de ponto no ponto [tex3]B[/tex3]:

[tex3]b^2=a\cdot(2a+X)[/tex3]

[tex3]b^2=2a^2+a\cdot X[/tex3]

E substituímos o valor de [tex3]X[/tex3] encontrado anteriormente:

[tex3]b^2=2a^2+a\cdot \frac{R^2-c^2}{a}[/tex3]

[tex3]b^2=2a^2+R^2-c^2[/tex3]

Isolamos o [tex3]R^2[/tex3]

[tex3]R^2=b^2-2a^2+c^2[/tex3]

Só que o enunciado nos diz que [tex3]a^2=bc[/tex3], portanto, podemos substituir:

[tex3]R^2=b^2-2bc+c^2[/tex3]

No lado direito temos um trinômio quadrado perfeito:

[tex3]R^2=(b-c)^2[/tex3]

[tex3]R=\sqrt{(b-c)^2}[/tex3]

O lado direito da equação acima é exatamente a definição de módulo de [tex3](b-c)[/tex3], ou seja:

[tex3]R=|b-c|[/tex3]