Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2025/1) Probabilidades Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Zureta, o sapinho saltitante, está inicialmente no quadradinho central de um tabuleiro 3 x 3. A cada salto Zureta escolhe aleatoriamente um dos quadradinhos do tabuleiro adjacentes ao quadradinho em que ele está e salta para lá. Todos os saltos de Zureta são independentes e Zureta só faz saltos na horizontal ou na vertical, nunca na diagonal Quando Zureta atinge um quadradinho de um dos 4 cantos do tabuleirc ele para e descansa. A partir da posição inicial, Zureta executa uma sequência de saltos. A probabilidade de que Zureta dê no máximo quatro saltos antes de descansar é:

A) 2/3
B) 7/9
C) 1/2
D) 5/9
E) 8/9

Resposta

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GABARITO: E

[hyann]

Olá!.
Questões de probabildiade geralmente tem mais dificuldade de interpretação que em contas, pois bem, essa é umadelas.

Primeiro, zureta está no centro e não pode pular na diagonal.
Segundo, zureta não pode parar no prmeiro ou teceiro pulo (facilmente perceptivel apartir da primeira afirmação).

Agora, precisamos somente calcular as probabilidades de parar no segundo ou no quarto e soma-lás, assim:
Para o primeiro pulo, temos que ele deve ir pra algum dos meios de dois cantos, e depois ir para algum dos cantos, assim, para ir para o meio de algum dos cantos temos a probabilidade de [tex3]\frac{1}{4}[/tex3], e apos isso, ele deve pular para algum dos cantos, que são 2 espaços favoráveis em três possivéis (ele pode voltar pro centro também), [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] é a nossa probabilidade de ir para os cantos, assim, chegamos no resultado [tex3]4(\frac{1}{4}*\frac{2}{3})=\frac{2}{3}[/tex3]

Agora, para o quarto pulo, zureta vai ir para um meio, depois, com a probabilidade de [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] ele vai pro meio novamente, depois pula para um dos meios denovo e por ultimo, escolhe um dos cantos com probabilidade de [tex3]\frac{2}{3}[/tex3], assim temos: [tex3]1*\frac{1}{3}*1*\frac{2}{3}=\frac{2}{9}[/tex3]

Finalmente somando tudo: [tex3]\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{8}{9}[/tex3], ntj é o zureta .

[ALANSILVA]

Kkkkk eu estou tentando interpretar os saltos do Zureta, chato esse Zureta

[ALANSILVA]

E se o Zureta não descansasse ? Daria pra fazer o complementar ne ?

[hyann]

E se o Zureta não descansasse ? Daria pra fazer o complementar ne ?

Daria sim, mais facil inclusive, mas não pensei nessa resolução quando vi a questão, enfim.
Utilizando as ideias apresentadas na ultima resolução:
Para o zureta não parar até após o quarto salto, ele deve ir para o meio de algum dos cantos obrigatoriamente, voltar ao centro com probabilidade de [tex3]\frac{1}{3}[/tex3], e repetir esse processo novamente, assim:
[tex3]1*\frac{1}{3}*1*\frac{1}{3}=\frac{1}{9}[/tex3], então a probabilidade de parar em ≤ 4 saltos = 1 - p(não parar ate após 4 saltos), ou seja:
[tex3]1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9} [/tex3], 2 pra nois e 0 pro zureta nessa aqui.

[ALANSILVA]

Para reforçar:
Fórmula dos saltos de zureta
[tex3]P_N=\frac{1}{4}(1-P_{N-1})[/tex3][tex3][/tex3]