IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Conjuntos Numéricos: Dízima Periódica Tópico resolvido

[fgarcia_84]

O resultado da divisão de [tex3]7^{12}[/tex3] por [tex3]6[/tex3], é um número

A) inteiro.
B) com parte decimal finita.
C) com parte decimal infinita periódica simples.
D) com parte decimal infinita periódica composta.
E) com parte decimal infinita e não-periódica.

Obrigado

[Alexandre_SC]

c) infinita periodica simples.

não sei bem ao certo porque mas quando dividimos um número por tres, seis ou nove, se o resultado não é inteiro isso sempre acontece. e uma potência de sete não será um múltiplo de seis nem que a vaca tussa! por isso meu palpite é esse.

[Thales Gheós]

Deve haver um método razoável para resolver isso, mas eu pensei assim:

[tex3]\frac{7^{12}}{6}=\frac{7.7^{11}}{6}[/tex3]

[tex3]\frac{7}{6}=1,1666...[/tex3] então temos:

[tex3]\frac{7^{12}}{6}=1,1666...7.7^{10}[/tex3]

[tex3]1,1666666.7=11,16666...[/tex3] a dízima se repete até o fim quando teremos um número na forma:

[tex3]k+0,1666...[/tex3]

[SBAN]

Na divisão de 7/6 deixa resto 1, então podemos dizer que sempre 7 deixa resto 1 na divisão por 6. Então um um número que só tem fatores 7. como 7^12 pode ser escrito como 6k+1 em que k é um número natural qualquer

Temos 7^12=6k+1. Dividindo ambos os lados da igualdade por 6 temos

7^(12)/6=6k/6+1/6

(7^12)/6=k+1/6

Ou seja, 7^(12)/6= será um número natural somado com 1/6 que é uma dizima periodica composta igual a 0,1666....

Portanto, a alternativa correta é a letra D