Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2025/1) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Uma escada deve ser construída em torno de um silo de armazenamento cilindrico para permitir o acesso ao topo. O silo tem uma base circular com raio de 2 metros e altura de 26 metros. A curva que a escada descreve sobre a superffcie lateral do cilindro tem uma inclinacão constante de 45 graus em relação ao solo. Determine o número de voltas completas que a escada dará ao redor do silo para ir do solo até o seu topo.

A)5
B)2
C)3
D)1
E)4

Resposta

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GABARITO B

[petrasMOD]

@ALANSILVA

Planificando o cilindro teriamos a escada na diagonal pois a única forma de uma escada que percorre toda a altura do cilindro ter uma inclinação constante (...inclinacão constante de 45 graus em relação ao solo..." é se, ao ser planificada, ela se transformar em uma linha reta diagonal (a hipotenusa do triângulo retângulo)
Sendo assim:
Base do Retângulo (Comprimento da Circunferência, C):
É o comprimento da circunferência da base do silo.[tex3]C = 2\pi r = 2\pi (2) = 4\pi [/tex3]

Se a escada dá N voltas completas ao redor do silo, a linha reta diagonal na planificação cruzará N comprimentos de circunferência.
Comprimento Total da Base da Escada (L): É o número de voltas (N) multiplicado pelo comprimento da circunferência.
[tex3]L = N \times C[/tex3][tex3]L = N \times 4\pi[/tex3]
Como a inclinação é de 45^o teremos [tex3]tg 45^o =\frac{H}{L} \implies H = L = 26\\
\therefore 26 = N.4\pi \implies N \approx 2,07[/tex3]

Portanto 2 voltas completas

[LucasPinafiMOD]

Outra solução interessante envolvendo cálculo vetorial. Uma possível parimetrização para a escada seria:
[tex3]r(\theta) = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta, a\theta )[/tex3]
A direção da reta tangente é:
[tex3]r'(\theta) = (-2 \sin \theta, 2 \cos \theta , a)[/tex3]
O ângulo que faz com o eixo vertical z é 45°, ou seja,
[tex3](-2 \sin \theta, 2 \cos \theta, a) \cdot (0,0,1) = \sqrt{4+a^2} \cos (45^{\circ}) \Longrightarrow a = \frac{\sqrt{4+a^2}}{\sqrt 2}[/tex3]
[tex3]2a^2 = 4+a^2 \Longrightarrow a = 2[/tex3]
Para chegar na altura de 26m, devemos ter:
[tex3]a\theta = 26 \Longrightarrow \theta = 13[/tex3]
No chão, temos que [tex3]\theta = 0[/tex3]
Logo, devemos ter [tex3]0\leq \theta \leq 13[/tex3], de forma que o número de voltas é [tex3]\left\lfloor \frac{13}{2\pi} \right\rfloor = 2[/tex3]