IME / ITA ⇒ (Colegio Naval/2025-2026) Equação Irracional Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Considere no campo dos números reais a equação irracional a seguir:
[tex3]\sqrt{(12-2x)^2}+\sqrt{(x^2-5x+9)^2}=\sqrt{(x^2-3x-3)^2}[/tex3]

E correto afirmar que o menor inteiro [tex3]m[/tex3], que faz parte de seu conjunto solução, é um número tal que [tex3]m[/tex3]:

(A) é um quadrado perfeito,
(B) possui 3 divisores naturais
(C) possui 4 divisores naturais
(D) é um número primo.
(E) é um cubo perfeito

Resposta

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GABARITO:C

[petrasMOD]

@ALANSILVA
[tex3]\sqrt{a^2} = |a| \therefore |12-2x|+|x^{2}-5x+9|=|x^{2}-3x-3|. [/tex3]
[tex3]x^{2}-5x+9 :\Delta =-11[/tex3]
COm [tex3]\Delta[/tex3] < 0 e a >0 a expressão [tex3]x^{2}-5x+9 [/tex3] é sempre positiva para qualquer valor real de (x). Portanto, [tex3]|x^{2}-5x+9|=x^{2}-5x+9.[/tex3]
Substituindo: [tex3]|12-2x|+(x^{2}-5x+9)=|x^{2}-3x-3|.[/tex3]

Analisando os casos para a expressão |12-2x|:

Caso 1: 12-2x [tex3]\ge 0\implies 2x\le 12\implies x\le 6[/tex3].
[tex3](12-2x)+(x^{2}-5x+9)=|x^{2}-3x-3|\\x^{2}-7x+21=|x^{2}-3x-3|. [/tex3]

Dois subcasos são considerados para a expressão [tex3]|x^{2}-3x-3|[/tex3].

Subcaso 1.1: [tex3]x^{2}-3x-3\ge 0[/tex3].
[tex3]x^{2}-7x+21=x^{2}-3x-3\\
-7x+21=-3x-3 \implies -4x=-24 \therefore x=6[/tex3].
x=6 satisfaz a condição [tex3]x\le 6\ e ~x^{2}-3x-3=6^{2}-3(6)-3=36-18-3=15\ge 0.[/tex3]
Portanto, x=6 é uma solução.

Subcaso 1.2: [tex3]x^{2}-3x-3<0[/tex3]
A equação é[tex3] x^{2}-7x+21=-(x^{2}-3x-3) \implies x^{2}-7x+21=-x^{2}+3x+3. \\
2x^{2}-10x+18=0 \implies x^{2}-5x+9=0[/tex3].
[tex3]\Delta =-11 < 0 .[/tex3] Portanto não há soluções reais para este subcaso.

Caso 2:[tex3]12-2x<0\implies 2x>12\implies x>6. [/tex3]
[tex3]-(12-2x)+(x^{2}-5x+9)=|x^{2}-3x-3| \implies -12+2x+x^{2}-5x+9=|x^{2}-3x-3|\\
x^{2}-3x-3=|x^{2}-3x-3|. [/tex3]
Esta igualdade é verdadeira se e somente se[tex3] x^{2}-3x-3\ge 0[/tex3].
As raízes de [tex3]x^{2}-3x-3=0 [/tex3]são: [tex3](x_{1}=\frac{3-\sqrt{21}}{2} \approx -0,79) e (x_{2}=\frac{3+\sqrt{21}}{2} \approx 3,79) \therefore x \leq -0,79 ~ou~x \geq3,79[/tex3].
Como a condição é x > 6 o conjunto solução para este caso é x > 6.

O conjunto solução é [tex3]{\{6\}}\cup \{x\in \mathbb{R}|x>6\} \therefore {\{x\in \mathbb{R}|x\ge 6\}}.[/tex3]
O menor inteiro m que faz parte do conjunto solução é (6).

DIvisores de 6:1,2,3,6