Ensino Fundamental ⇒ Triângulos - Pontos notáveis Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Em um triângulo retângulo ABC, reto em B, ao traçarmos a mediana AM, temos que ∠𝐴𝑀𝐵 = 2.∠𝐵𝐴𝐶. Baseando-se nessas informações, determine o valor numérico da razão AM/BC.

Alguma solução por geometria básica que não utilize relação trigonométrica?

Resposta

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3/2

[petrasMOD]

@FISMAQUIM

QUestão já postada

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[FISMAQUIM]

petras, seria possível uma solução por geometria básica para que não utilize trigonometria?

[petrasMOD]

FISMAQUIM,

Aind anao visualizei..ainda mais que a solução com a trigonomtria basica se mostra bem rapida

[ArquiBaude]

Sim, existe uma solução que escapa ao uso das tangentes, como realizada no outro tópico.

Uma solução, por sinal, muito interessante.

Essa é a figura que ilustra o problema:

Trace BM', a mediana relativa ao lado AC. A interseção de BM' e AM é o ponto G.
M' é o circuncentro de ABC, por isso AM'=BM'=CM'.
MM' é perpendicular ao lado AC, uma justificativa é que MM' é a altura do triângulo isósceles BM'C.
[tex3]\triangle ABG \sim \triangle GMM'[/tex3] na razão 2:1

Todo problema se resolve agora, ao traçar a bissetriz interna do ângulo [tex3]\angle BMG[/tex3] e concluir que o [tex3]\triangle BMG[/tex3] é isosceles.

Assim fica fácil ver que [tex3]\frac{AM}{BC} = \frac{3}{2}[/tex3]

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A solução do outro tópico via trigonometria é bem legal também, dá para misturar com o teorema de apolônio e chegar na mesma solução. Se você usar esse teorema vai perceber que precisa saber o valor de h/x, que vem da tangente.

[FISMAQUIM]

ArquiBaude, muito obrigado