Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

Encontre a relação entre p e q para que na equação x²+px+q= 0, uma raiz seja o triplo da outra.

Resposta

---

3p²= 4q

* Minha resolução:
As raízes são X₁ e X₂, mas como uma é o triplo da outra, podemos dizer que as raízes são: X₁ e 3X₁.

* Soma das raízes: -[tex3]\frac{b}{a}[/tex3][tex3]\rightarrow [/tex3] X₁ + 3X₁= -p[tex3]\rightarrow [/tex3] 4X₁= -p[tex3]\rightarrow [/tex3] X₁= -[tex3]\frac{p}{4}[/tex3].
* Produto das raízes: [tex3]\frac{c}{a}[/tex3][tex3]\rightarrow [/tex3] X₁.3X₁= q[tex3]\rightarrow [/tex3] 3X₁²= q[tex3]\rightarrow [/tex3] (3X₁²)^{[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]}= q^{[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]}[tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\sqrt{3}[/tex3]X₁= [tex3]\sqrt{q}[/tex3][tex3]\rightarrow [/tex3] X₁= [tex3]\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{3}}[/tex3].

-[tex3]\frac{p}{4}[/tex3]= [tex3]\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{3}}[/tex3][tex3]\rightarrow [/tex3] -p[tex3]\sqrt{3}[/tex3]= 4[tex3]\sqrt{q}[/tex3][tex3]\rightarrow [/tex3] (-p[tex3]\sqrt{3}[/tex3])²= (4[tex3]\sqrt{q}[/tex3])²[tex3]\rightarrow [/tex3] 3p²= 16q.

O meu resultado só difere do gabarito devido ao 16. Eu fiz algo errado ou é o gabarito que está incorreto?

[ProfLaplace]

Oi!
Primeiramente, evite tirar raízes quadradas nesses casos.
Se [tex3]q[/tex3] for negativo por exemplo, [tex3]\sqrt{q}[/tex3] não vai existir.
(Nesse caso, a gente consegue saber que [tex3]q[/tex3] não é negativo, mas tome cuidado mesmo assim. Vc teria que justificar que ele é não-negativo antes de tirar a raiz, de qualquer forma).
Além disso, [tex3]\sqrt{x_1^2}[/tex3] é [tex3]|x_1|[/tex3] por definição, e não apenas [tex3]x_1.[/tex3]
Então há esses dois problemas.
O ideal é não tirar raízes quadradas quando não for estritamente necessário.
É melhor elevar ao quadrado.

[tex3]x_1=-\frac{p}{4}[/tex3]
[tex3]3x_1^2=q[/tex3]

Elevando a primeira ao quadrado: [tex3]x_1^2=\frac{p^2}{16}.[/tex3]
Multiplicando por três: [tex3]3x_1^2=\frac{3p^2}{16}.[/tex3]
Agora vc pode igualar as duas:
[tex3]\frac{3p^2}{16}=q \Rightarrow 3p^2=16q.[/tex3]
Sua resposta final está certa!
Só precisa ajeitar o miolo da solução, por causa dos problemas da raiz quadrada que eu citei.

[IasminSS]

Oi!
Primeiramente, evite tirar raízes quadradas nesses casos.
Se [tex3]q[/tex3] for negativo por exemplo, [tex3]\sqrt{q}[/tex3] não vai existir.
(Nesse caso, a gente consegue saber que [tex3]q[/tex3] não é negativo, mas tome cuidado mesmo assim. Vc teria que justificar que ele é não-negativo antes de tirar a raiz, de qualquer forma).
Além disso, [tex3]\sqrt{x_1^2}[/tex3] é [tex3]|x_1|[/tex3] por definição, e não apenas [tex3]x_1.[/tex3]
Então há esses dois problemas.
O ideal é não tirar raízes quadradas quando não for estritamente necessário.
É melhor elevar ao quadrado.

[tex3]x_1=-\frac{p}{4}[/tex3]
[tex3]3x_1^2=q[/tex3]

Elevando a primeira ao quadrado: [tex3]x_1^2=\frac{p^2}{16}.[/tex3]
Multiplicando por três: [tex3]3x_1^2=\frac{3p^2}{16}.[/tex3]
Agora vc pode igualar as duas:
[tex3]\frac{3p^2}{16}=q \Rightarrow 3p^2=16q.[/tex3]
Sua resposta final está certa!
Só precisa ajeitar o miolo da solução, por causa dos problemas da raiz quadrada que eu citei.

Muitíssimo obrigada!