Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

E116) Encontre todos os valores de [tex3]k[/tex3] para que o sistema

[tex3]\begin{cases}
(-5-k)x+2y=0 \\
2x-(2+k)y=0
\end{cases}[/tex3]

Tenha outras soluções além da trivial [tex3](x=y=0)[/tex3].

Por favor, me mostrem uma resolução sem ser por determinante.

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS.

Para não utilizar determinante, podemos pensar em cada equação como sendo de uma reta. Para visualizar melhor, vamos isolar o [tex3]y[/tex3] em cada equação:

[tex3]\begin{cases}
y=\frac{5+k}{2}x \\
y=\frac{2}{2+k}x
\end{cases}[/tex3]

Agora, para ter mais de uma solução (pois a trivial já é solução), temos que ter as duas retas coincidentes! Ou seja, as duas retas devem ter o mesmo coeficiente angular e o mesmo coeficiente linear.

Como o coeficiente linear já é ZERO para as duas retas, basta a gente igualar os coeficientes angulares:

[tex3]\frac{5+k}{2}=\frac{2}{2+k}[/tex3]

[tex3](5+k)(2+k)=4[/tex3]

[tex3]k^2+7k+6=0\Rightarrow\boxed{\boxed{\begin{cases}k'=-1\\k''=-6\end{cases}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju