Concursos Públicos ⇒ Fatorial de 1000 Tópico resolvido

[italoemanuell]

OLá a todos!!
*Por quantos zeros termina o resultado de 1000!?


Abraços.......



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"A Matemática é a honra do espírito humano." Leibniz

[Thales Gheós]

[tex3]1000!=1000.999.998...........5.4.3.2.1[/tex3]

vão fornecer zeros os:

- múltiplos de 100 fornecem 2 zeros cada um
- múltiplo de 10 (excluídos os de cem) fornecem um zero cada um
- o produto [tex3]2x5=10[/tex3] fornece um zero

Múltiplos de 100 são 10

múltiplos de 10 são:

[tex3]1000\leq2n\leq10\rightarrow 100\leq{n}\leq1\rightarrow {n}=100[/tex3]

teremos:

- 10 múltiplos de 100 [tex3]\rightarrow 100^{10}\rightarrow 10^{12}\rightarrow 12[/tex3] zeros

- 90 múltiplos de 10 e não de 100: [tex3]10^{90}\rightarrow 90[/tex3] zeros

- [tex3]2x5\rightarrow 1[/tex3] zero

- o número [tex3]1000\rightarrow 3[/tex3] zeros

total: [tex3]12+90+1+3=106[/tex3]

dá uma conferida prá ver se eu não esqueci de algum.

[Alexandre_SC]

eu prefiro resolver da seguinte maneira:
[tex3]10 = 2 \cdot 5[/tex3]

para se calcular quantas vezes o número [tex3]a[/tex3] aparece como fator em um fatorial basta fazer, arredondando todas as divisões para o maio inteiro menor que o cociente: [tex3]\frac{n}{a}+\frac{n}{a^2}+. . .[/tex3]

então para cinco temos:

[tex3]\frac{1000}{5}+\frac{1000}{25}+\frac{1000}{125}+\frac{1000}{625}[/tex3]
se continuássemos teriamos 3 125, 15 625 ... que sempre daria zero!

[tex3]200+40+8+1 = 249[/tex3]

a partir daqui eu já poderia responder que há 249 zeros, porque certamente há mais múltiplos de dois em um intervalo, que múltiplos de cinco:

[tex3]\frac{1000}{2}+\frac{1000}{4}+\frac{1000}{8}+\frac{1000}{16}+\frac{1000}{32}+\frac{1000}{64}+\frac{1000}{2}+\frac{1000}{128}+\frac{1000}{256}+\frac{1000}{512}[/tex3]


[tex3]500+250+125+62+31+15+7+3+1[/tex3] = 994

mas isso funciona como uma reação química onde os múltiplos de cinco são um reagente C e os múltiplos de dois são o reagente D que formarão a molécula [tex3]C_1 D_1[/tex3] no caso há excesso de D que não reage.

[italoemanuell]

Eu postei essa questão com o intuito de ver se alguma resposta "batia" com o do livro,que é 249 zeros!!

Entretanto,agradeço a ajuda de todos!!!!E aguardo outras soluções....

Abraços.....



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"A música é um exercício inconsciente de cálculos. (Leibniz)"

[bigjohn]

ae italoemanuellll, poxa cara, se tem gabarito bota ele junto com a questão!!! Facilita a resolução de quem vai fazer...... vlw ae brother!!!

[cajuADMIN]

Olá a todos.

Para saber a quantidade de zeros no final do resultado de um número fatorial, precisamos identificar quantos fatores do tipo [tex3]2\times 5[/tex3] aparecem na sua fatoração. Em outras palavras, precisamos saber quantos fatores [tex3]2[/tex3] e quantos fatores [tex3]5[/tex3] surgem na multiplicação dos números de [tex3]1[/tex3] até [tex3]1000[/tex3].

Como existem muito mais múltiplos de [tex3]2[/tex3] do que de [tex3]5[/tex3], o fator limitante é o número de fatores [tex3]5[/tex3]. Assim, basta contar quantos fatores [tex3]5[/tex3] aparecem na fatoração de [tex3]1000![/tex3]. Esse total será exatamente a quantidade de fatores [tex3]2\times 5 = 10[/tex3], ou seja, a quantidade de zeros no final de [tex3]1000![/tex3].

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Cada múltiplo de [tex3]5[/tex3] contribui com pelo menos um fator [tex3]5[/tex3] na fatoração de [tex3]1000![/tex3].
Logo, começamos contando quantos múltiplos de [tex3]5[/tex3] existem entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]1000[/tex3]:

[tex3]\left\lfloor \dfrac{1000}{5} \right\rfloor = \boxed{200}[/tex3]

Isso significa que temos [tex3]200[/tex3] múltiplos de [tex3]5[/tex3] entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]1000[/tex3]. Garantindo, inicialmente, [tex3]200[/tex3] fatores [tex3]5[/tex3] na fatoração de [tex3]1000![/tex3].

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Agora, precisamos considerar os múltiplos de [tex3]5^2 = 25[/tex3].
Cada múltiplo de [tex3]25[/tex3] contribui com dois fatores [tex3]5[/tex3]. Porém, como todo múltiplo de [tex3]25[/tex3] também é múltiplo de [tex3]5[/tex3], um desses dois fatores já foi contabilizado anteriormente.

Assim, devemos acrescentar apenas um fator [tex3]5[/tex3] extra para cada múltiplo de [tex3]25[/tex3]:

[tex3]\left\lfloor \dfrac{1000}{25} \right\rfloor = \boxed{40}[/tex3]

Portanto, somamos mais [tex3]40[/tex3] fatores [tex3]5[/tex3] à fatoração de [tex3]1000![/tex3].

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Seguimos com os múltiplos de [tex3]5^3 = 125[/tex3].
Cada múltiplo de [tex3]125[/tex3] contribui com três fatores [tex3]5[/tex3], mas como já contabilizamos dois fatores (via múltiplos de [tex3]5[/tex3] e múltiplos de [tex3]25[/tex3]), devemos acrescentar apenas mais um fator [tex3]5[/tex3] por cada múltiplo de [tex3]125[/tex3]:

[tex3]\left\lfloor \dfrac{1000}{125} \right\rfloor = \boxed{8}[/tex3]

Assim, acrescentamos mais [tex3]8[/tex3] fatores [tex3]5[/tex3].

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Por fim, analisamos os múltiplos de [tex3]5^4 = 625[/tex3].
Seguindo a mesma lógica, cada um deles acrescenta mais um fator [tex3]5[/tex3]:

[tex3]\left\lfloor \dfrac{1000}{625} \right\rfloor = \boxed{1}[/tex3]

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Somando todas as contribuições, a quantidade total de fatores [tex3]5[/tex3] na fatoração de [tex3]1000![/tex3] é:

[tex3]200 + 40 + 8 + 1 = \boxed{\boxed{249}}[/tex3]

Logo, [tex3]1000![/tex3] termina com exatamente [tex3]\boxed{249}[/tex3] zeros.

Grande abraço,
Prof. Caju

[cajuADMIN]

Agora, com a nova funcionalidade do fórum, conseguimos calcular o número completo 1000!. Clique "Executar" abaixo e veja quantos zeros tem ao final do 1000!:

Pra aprender mais sobre essa funcionalidade, veja esse post: viewtopic.php?p=316207#p316207

Grande abraço,
Prof. Caju