Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

O valor de [tex3]\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}[/tex3], com [tex3]x\in \mathbb{R}^+[/tex3], é certamente:
(A) Um valor entre 0 e [tex3]x[/tex3].
(B) Um valor entre [tex3]x/2[/tex3] e [tex3]x[/tex3].
(C) Maior que [tex3]2x[/tex3].
(D) Uma valor que diminiu á medida que [tex3]x[/tex3] cresce.
(E) Um valor entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]2x[/tex3].

Resposta

---

(C)

[GiovanaMSPMOD]

Do enunciado:

[tex3]\mathrm{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=\sqrt{x^2+1}+x}[/tex3]

A partir daqui não vejo uma saída mais rápida senão fazer um breve esboço de [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3] considerando que [tex3]\mathrm{f(x)>0, \forall \ x\in \mathbb{R}}[/tex3]. Tendo em vista que [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3] é estritamente crescente, com apenas alguns pontos você já consegue uma aproximação da curva descrita por [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3].

A partir do esboço supracitado, temos:

https://www.geogebra.org/classic/dqstvmpe

A partir do esboço já podemos intuir que a resposta correta é a letra C. Entretanto, vamos mostrar isso. Vamos mostrar que [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3] é estritamente maior que [tex3]\mathrm{p(x)=2x}[/tex3].

[tex3]\mathrm{f(x)=p(x)\ \leftrightarrow\ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=2x\ \leftrightarrow\ 4x^4+4x^2=1+4x^4+4x^2\ \therefore\ 0=1}[/tex3]

Ou seja, chegamos a uma contradição lógica, o que faz sentido, afinal, [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3] e [tex3]\mathrm{p(x)}[/tex3] nunca se encontram, logo, a premissa [tex3]\mathrm{f(x)=p(x)}[/tex3] já está incorreta desde o início. Para as demais funções as comparações a serem feitas são as mesmas.

Ainda explorando um pouco mais a questão, [tex3]\mathrm{p(x)}[/tex3] é, na verdade, uma assíntota oblíqua de [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3].

Dado [tex3]\mathrm{p(x)=ax+b}[/tex3]; para que [tex3]\mathrm{p(x)}[/tex3] seja assíntota oblíqua de [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3], temos que ter a seguinte condição:

[tex3]\mathrm{\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\ \leftrightarrow\ \lim_{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+1}+x-2x\right]=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0}[/tex3]

Observe que [tex3]\mathrm{\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=+\infty}[/tex3], o que inviabiliza a ideia de assíntota oblíqua, porém, este intervalo não importa, pois a função é definida somente para [tex3]\mathrm{x\in \mathbb{R}^+}[/tex3] e neste intervalo a assíntota oblíqua é verificada.

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS e @GiovanaMSPMOD.

Podemos pensar da seguinte forma, também.

Após o ponto onde a Giovana racionalizou o denominador da função, temos:

[tex3]\boxed{f(x)=\sqrt{x^2+1}+x}[/tex3]

Olhando para essa função, podemos analisar o radicando presente ali.

Sabemos que, para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3], [tex3]x^2+1>x^2[/tex3]. Portanto, como ambos os lados da inequação são positivos, podemos concluir também que:

[tex3]\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}[/tex3]

Do lado direito da inequação, temos o módulo de [tex3]x[/tex3]. Como [tex3]x[/tex3] é não-negativo, podemos dizer que o módulo de [tex3]x[/tex3] é o próprio [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\sqrt{x^2+1}>x[/tex3]

Agora podemos somar [tex3]x[/tex3] em ambos os lados da inequação:

[tex3]\sqrt{x^2+1}+x>x+x[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^2+1}+x>2x[/tex3]

[tex3]f(x)>2x[/tex3]

P.S.: Pensando em condição de existência para o radicando, temos [tex3]x^2+1>0[/tex3] e, como [tex3]x^2[/tex3] é sempre não-negativo, temos que a raiz existe para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Olá, @IasminSS e @GiovanaMSP.

Podemos pensar da seguinte forma, também.

Após o ponto onde a Giovana racionalizou o denominador da função, temos:

[tex3]\boxed{f(x)=\sqrt{x^2+1}+x}[/tex3]

Olhando para essa função, podemos analisar o radicando presente ali.

Sabemos que, para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3], [tex3]x^2+1>x^2[/tex3]. Portanto, como ambos os lados da inequação são positivos, podemos concluir também que:

[tex3]\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}[/tex3]

Do lado direito da inequação, temos o módulo de [tex3]x[/tex3]. Como [tex3]x[/tex3] é não-negativo, podemos dizer que o módulo de [tex3]x[/tex3] é o próprio [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\sqrt{x^2+1}>x[/tex3]

Agora podemos somar [tex3]x[/tex3] em ambos os lados da inequação:

[tex3]\sqrt{x^2+1}+x>x+x[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^2+1}+x>2x[/tex3]

[tex3]f(x)>2x[/tex3]

P.S.: Pensando em condição de existência para o radicando, temos [tex3]x^2+1>0[/tex3] e, como [tex3]x^2[/tex3] é sempre não-negativo, temos que a raiz existe para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju

Boa tarde, @GiovanaMSPMOD e @cajuADMIN! Obrigada pelas resoluções, eu consegui entender.

O livro do qual eu retirei esse exercício, oferece uma resolução também. Vou postar aqui.
Solução:
Apenas uma delas é correta para qualquer valor de [tex3]x\in \mathbb{R}^+[/tex3]. Vejamos quais opções podem ser eliminadas. Fazendo [tex3]x=0[/tex3], a expressão valerá 1. Testemos os valores de [tex3]x=0[/tex3] e expressão igual a 1 nas opções do problema:
(A) [tex3]1[/tex3] está entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]0[/tex3]: FALSO.
(B) [tex3]1[/tex3] está entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]0/2[/tex3]: FALSO.
(C) [tex3]1[/tex3] é maior que [tex3]0[/tex3]: CORRETO.
(D) Fazendo [tex3]x=1[/tex3], valerá [tex3]\frac{1}{\sqrt{2}-1}= \sqrt{2}+1≈ 2,41[/tex3], aumentou e não diminui: FALSO.
(E) [tex3]1[/tex3] está entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]2 .0[/tex3]: FALSO.

Porém, como eu vou saber que tenho que fazer [tex3]x=0[/tex3]?

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS.

Nesse tipo de resolução, testando as alternativas, você pega qualquer valor de [tex3]x[/tex3] que quiser. Daí começa a testar cada alternativa.

Mas, ao colocar um valor qualquer de [tex3]x[/tex3], você vai começar a ter problemas. Por exemplo: faz de conta que você tenha decidido testar as alternativas com [tex3]x=2[/tex3]. Colocando [tex3]x=2[/tex3] na função original, chegamos em [tex3]\frac{1}{\sqrt{5}-2}[/tex3]. Veja que não é um número fácil de ficar comparando com outros resultados, pois tem aquela raiz ali, o que envolve muitos cálculos. Ou seja, você tem que escolher outro número que traga facilidade na comparação... basicamente, tem que escolher um número [tex3]x[/tex3] que faça a raiz quadrada ser eliminada! Testa [tex3]x=1,2,3,4,5,6,...[/tex3] daí vem à mente o ZERO... colocando [tex3]x=0[/tex3] a raiz é eliminada e tudo fica mais fácil.

Mas, se você continuar os testes com [tex3]x=1,2,3,4,5, ....[/tex3] com qualquer número, tem que funcionar! Pode acontecer de dar empate em duas alternativas, daí escolhe outro [tex3]x[/tex3] e testa. Mas com [tex3]x=0[/tex3] só precisa de um teste mesmo.

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Olá, @IasminSS.

Nesse tipo de resolução, testando as alternativas, você pega qualquer valor de x que quiser. Daí começa a testar cada alternativa.

Mas, ao colocar um valor qualquer de x, você vai começar a ter problemas. Por exemplo: faz de conta que você tenha decidido testar as alternativas com x=2. Colocando x=2 na função original, chegamos em [tex3]\frac{1}{\sqrt{5}-2}[/tex3]. Veja que não é um número fácil de ficar comparando com outros resultados, pois tem aquela raiz ali, o que envolve muitos cálculos. Ou seja, você tem que escolher outro número que traga facilidade na comparação... basicamente, tem que escolher um número x que faça a raiz quadrada ser eliminada! Testa x=1,2,3,4,5,6,... daí vem à mente o ZERO... colocando x=0 a raiz é eliminada e tudo fica mais fácil.

Mas, se você continuar os testes com x=1,2,3,4,5, .... com qualquer número, tem que funcionar! Pode acontecer de dar empate em duas alternativas, daí escolhe outro x e testa. Mas com x=0 só precisa de um teste mesmo.

Grande abraço,
Prof. Caju

Entendi. Muito obrigada, Prof. Caju.