Física II ⇒ Temperatura associada à mudança de volume. Tópico resolvido

[alika]

Na situação esquematizada na figura, o êmbolo de massa [tex3]m[/tex3] pode se mover sem atrito e divide o cilindro em duas partes onde há a mesma quantidade de um mesmo gás ideal. Inicialmente, a relação dos volumes é [tex3]V_{2}=xV_{1}[/tex3]. Considerando a temperatura no início igual a [tex3]T_{0}[/tex3], determine a temperatura [tex3]T[/tex3], para que a relação entre os volumes passe a ser [tex3]V_{2}=yV_{1}[/tex3]. O sistema se encontra em equilíbrio no plano vertical.

Resposta

---

[tex3]T=T_{0}\frac{y}{x}\frac{x²-1}{y²-1}[/tex3]

Alguém verificaria se o gabarito está realmente correto?

[GiovanaMSPMOD]

Do equilíbrio, temos:

[tex3]\mathrm{\sum \overset{\to}{F}_{Verticais}= \overset{\to}{0}\ \therefore\ F_1=F_2+mg\leftrightarrow p_{1}S=p_2S+mg\ \therefore\ p_1-p_2=\frac{mg}{S}\ (i)}[/tex3]

Sendo [tex3]\mathrm{S}[/tex3] a área da superfície do êmbolo.

Cada gás obedece a equação do estado, tal que no início [tex3]\mathrm{\left(T_0\right)}[/tex3] temos, a partir de [tex3]\mathrm{(i)}[/tex3] e [tex3]\mathrm{(ii)}[/tex3]:

[tex3]\begin{cases}
\mathrm{p_{1,i}V_{1,i}=nRT_0} \\
\mathrm{p_{2,i}V_{2,i}=nRT_0}
\end{cases}\leftrightarrow \mathrm{nRT_0\left(\frac{1}{V_{1,i}}-\frac{1}{V_{2,i}}\right)=nRT_0\left(\frac{1}{V_{1,i}}-\frac{1}{xV_{1,i}}\right)=\frac{mg}{S}\ \therefore\ nRT_0\left(\frac{x-1}{xV_{1,i}}\right)=\frac{mg}{S}\ (ii)}[/tex3]

Cada gás obedece a equação do estado, tal que no final [tex3]\mathrm{\left(T\right)}[/tex3] temos:

[tex3]\begin{cases}
\mathrm{p_{1,f}V_{1,f}=nRT} \\
\mathrm{p_{2,f}V_{2,f}=nRT}
\end{cases}\leftrightarrow \mathrm{nRT\left(\frac{1}{V_{1,f}}-\frac{1}{V_{2,f}}\right)=nRT\left(\frac{1}{V_{1,f}}-\frac{1}{yV_{1,f}}\right)=\frac{mg}{S}\ \therefore\ nRT\left(\frac{y-1}{yV_{1,f}}\right)=\frac{mg}{S}\ (iii)}[/tex3]

Da igualdade entre [tex3]\mathrm{(ii)}[/tex3] e [tex3]\mathrm{(iii)}[/tex3], temos:

[tex3]\mathrm{nRT_0\left(\frac{x-1}{xV_{1,i}}\right)=nRT\left(\frac{y-1}{yV_{1,f}}\right)\leftrightarrow T_0\left(\frac{x-1}{xV_{1,i}}\right)=T\left(\frac{y-1}{yV_{1,f}}\right)\ (iv)}[/tex3]

Observe que:

[tex3]\begin{cases}
\mathrm{V_{1,i}+V_{2,i}=V_{1,i}+xV_{1,i}=V_{1,i}\left(x+1\right)} \\
\mathrm{V_{1,f}+V_{2,f}=V_{1,f}+yV_{1,f}=V_{1,f}\left(y+1\right)}
\end{cases}\leftrightarrow \mathrm{V_{1,f}=\left(\frac{x+1}{y+1}\right)V_{1,i}\ (v)}[/tex3]

De [tex3]\mathrm{(iv)}[/tex3] e [tex3]\mathrm{(v)}[/tex3], temos:

[tex3]\mathrm{\therefore\ \boxed{\mathrm{T=T_0\frac{y}{x}\left(\frac{x^2-1}{y^2-1}\right)}}}[/tex3]

Entendo que seja isto. Se houver dúvidas, avise.

[GiovanaMSPMOD]

Editei a primeira linha da postagem.