Olimpíadas ⇒ (Rússia 1983)- Ângulos agudos e complementares Tópico resolvido

[alika]

Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são ângulos agudos tais que [tex3]\sen ²a+\sen ²b=\sen (a+b)[/tex3], prove que [tex3]a+b=90°[/tex3].

[ProfLaplace]

Acho que consegui equacionar tudo certinho.
Mas estou cansado e preciso dormir kkk.
Amanhã eu vou reler tudo com calma pra ver se não tem nenhum furo.
De qualquer forma já vou enviar pra salvar aqui.

Vamos partir da Fórmula de Werner: [tex3]\cos{x}\cos{y}=\frac{\cos{(x+y)}+\cos{(x-y)}}{2}.[/tex3]
Agora faça [tex3]x=a+b[/tex3] e [tex3]y=a-b[/tex3] para chegar em:
[tex3]\cos{(a+b)}\cos{(a-b)}=\frac{\cos{(2a)}+\cos{(2b)}}{2}.[/tex3]
Pela fórmula do arco-duplo, [tex3]\cos{(2x)}=1-2\sin^2{x}.[/tex3]
Então, [tex3]\cos{(a+b)}\cos{(a-b)}=\frac{1-2\sin^2{a}+1-2\sin^2{b}}{2}=1-(\sin^2{a}+\sin^2{b})=1-\sin{(a+b)}.[/tex3]
Assim, [tex3]\sin{(a+b)}=1-\cos{(a+b)}\cos{(a-b)}.[/tex3]
Mas também [tex3]\cos{(a+b)}\cos{(a-b)}=1-\sin{(a+b)}\geq0.[/tex3]
Como [tex3]\cos{(a-b)}>0,[/tex3] segue que [tex3]\cos{(a+b)}\geq0\Rightarrow 0º<a+b\leq90º.[/tex3]
Dessa forma, temos [tex3]0º<a,b<90º,[/tex3] [tex3]0º<a+b\leq90º[/tex3] e [tex3]-90º<a-b<90º.[/tex3]
Temos então [tex3]0\leq|a-b|<a+b<180º[/tex3] (Verifique isso com calma, em especial a segunda desigualdade, por meio das propriedades do módulo).
Nesse intervalo, a função cosseno é decrescente, de forma que [tex3]\cos{|a-b|}\geq\cos{(a+b)}.[/tex3]
Mas [tex3]|a-b|[/tex3] vai ser [tex3]a-b[/tex3] ou [tex3]-(a-b).[/tex3]
Como a função cosseno é par, ambos os cossenos dariam na mesma, de forma que podemos tirar o módulo.
Assim, [tex3]\cos{(a-b)}\geq\cos{(a+b)} \Rightarrow -\cos{(a+b)}\geq-\cos{(a-b)}.[/tex3]
Multiplicando ambos os lados por [tex3]\cos{(a+b)}\geq0:[/tex3]
[tex3]-\cos^2{(a+b)}\geq-\cos{(a-b)}\cos{(a+b)}.[/tex3]
Somando 1:
[tex3]1-\cos^2{(a+b)}\geq1-\cos{(a-b)}\cos{(a+b)}.[/tex3]
Daí, [tex3]1-\cos^2{(a+b)}\geq\sin{(a+b)}.[/tex3]
Então [tex3]\sin{(a+b)}\leq\sin^2{(a+b)}.[/tex3]
Como [tex3]\sin{(a+b)}\neq0,[/tex3] podemos cortar um seno:[tex3]1\leq\sin{(a+b)}.[/tex3]
Mas isso força com que tenhamos [tex3]\sin{(a+b)}=1.[/tex3]
Como [tex3]0º<a+b\leq90º,[/tex3] segue-se por fim que [tex3]a+b=90º.[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\operatorname{sen}(a+b) = \operatorname{sen} a \cos b + \operatorname{sen} b \cos a.[/tex3]
Portanto: [tex3] \operatorname{sen}^2 a + \operatorname{sen}^2 b = \operatorname{sen} a \cos b + \operatorname{sen} b \cos a. \implies \operatorname{sen} a (\operatorname{sen} a - \cos b) + \operatorname{sen} b (\operatorname{sen} b - \cos a) = 0[/tex3]

Se [tex3]a + b = 90^{\circ}[/tex3], então [tex3]\operatorname{sen} a = \cos b~ e~ \operatorname{sen} b = \cos a.[/tex3]
e [tex3]a + b < 90^{\circ}[/tex3], então o ângulo a é menor que o complementar de b.Isso faz com que [tex3]\operatorname{sen} a < \cos b[/tex3] (o seno de um ângulo pequeno é menor que o cosseno do seu "quase" complementar).

Da mesma forma, [tex3]\operatorname{sen} b < \cos a.[/tex3] Nesse caso, os termos nos parênteses [tex3](\operatorname{sen} a - \cos b)[/tex3] e [tex3](\operatorname{sen} b - \cos a)[/tex3] seriam negativos. Um número positivo vezes um negativo dá negativo. A soma nunca daria zero.

Se a + b > 90^o (com a, b agudos):O [tex3]\operatorname{sen} a [/tex3] será maior que [tex3]\cos b[/tex3]. O [tex3]\operatorname{sen} b [/tex3] será maior que [tex3] cos a[/tex3]. Os parênteses seriam positivos. Novamente, a soma de dois valores positivos não pode resultar em zero.

Portanto a única solução é se cada parênteses for exatamente zero:
[tex3]\operatorname{sen} a - \cos b = 0 \implies \operatorname{sen} a = \cos b\\\operatorname{sen} b - \cos a = 0 \implies \operatorname{sen} b = \cos a [/tex3],
para ângulos agudos, o seno de um só é igual ao cosseno do outro se eles forem complementares
.Portanto: [tex3] a+ b = 90^{\circ}.[/tex3]

[alika]

Olá, pessoal.
Após rever essa questão, achei outra solução legal também.

[tex3]\sen^2a+\sen^2b=\sen a\cdot \cos b+\sen b\cdot \cos a [/tex3]
[tex3]∴ \sen a (\sen a -\cos b)=\sen b(\cos a -\sen b)[/tex3]
Analisando os sinais ([tex3]\sen a[/tex3] e [tex3]\sen b[/tex3] são positivos, visto que são ângulos do 1° quadrante), temos dois dois casos:
1°: [tex3]\sen a \geq \cos b\,\rightarrow \,\cos a \geq \sen b[/tex3]
Multiplicando a primeira desigualdade por [tex3]\cos b[/tex3]e a segunda por [tex3]\sen b[/tex3] e somando:
[tex3]\sen a\cdot \cos b+\sen b\cdot \cos a \geq \cos^2b+\sen^2b[/tex3] ∴ [tex3]\sen (a+b)\geq 1[/tex3]. Portanto, são complementares.
2°:[tex3]\sen a \leq \cos b \rightarrow \cos a \leq \sen b[/tex3]
Análogo ao primeiro caso (a única diferença é que você multiplicara as equações por sena e cosa, respectivamente.)