Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial - Tronco de Pirâmide Tópico resolvido

[pLbrasilBOT]

31. Uma pirâmide regular hexagonal de altura 6 cm é secionado por um plano paralelo à base e distante 4 cm dela .

b) Sabendo que a área da base da pirâmide obtida é 16[tex3]\sqrt{3}[/tex3] [tex3]cm^{2}[/tex3], determine a área da base da pirâmide original .

Resposta

---

144 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] [tex3]cm^{2}[/tex3]

[petrasMOD]

pLbrasilBOT,

Para resolver o problema, precisamos entender que a área da base e o plano de corte estão relacionados à semelhança de triângulos devido à proporcionalidade das alturas da pirâmide.


Se o plano de corte é paralelo à base, os triângulos formados pela secção e a pirâmide original são semelhantes.Portanto

[tex3]\[
\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2
\][/tex3]

Onde:
- [tex3]h_1[/tex3] é a altura da pirâmide cortada;
- [tex3]h_2[/tex3] é a altura da pirâmide original;
- [tex3]A_1 = 16\sqrt{3} cm^2[/tex3] (área da base da pirâmide cortada).

A altura da pirâmide original é [tex3]h_2 = 6 cm[/tex3], e o plano de corte está a 4 cm da base, então a altura da pirâmide cortada é [tex3]h_1 = 2\, cm[/tex3].

[tex3]
\frac{h_1}{h_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\\\

\therefore \[\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]\\

Logo:\\
\[
A_2 = \frac{A_1}{\frac{1}{9}} = 9 \cdot A_1
\]\\

\[
A_2 = 9 \cdot 16\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \, \text{cm}^2
\]\\

\text{A área da base da pirâmide original é:}

\boxed{144\sqrt{3} \, \text{cm}^2}
[/tex3]

[Argean]

Qual é a razão entre o volume do tronco e o volume da nova pirâmide?

Na minha resolução, encontrei a razão entre H do tronco (4cm) e a altura da nova piramide (h=2 cm)
Deste modo: H/h = 4/2 = 2 = r'
como a razão entre volume é r'^3 ==> Vp/Vt= 2^3 = 8
Porém, essa razão está errada. O valor correto é 26.

Onde está meu erro?

[petrasMOD]

@Argean

A semelhança deve ser feito entre as pirâmides:

Altura da pirâmide original (H): 6 cm.
Distância do plano à base: 4 cm.
Altura da nova pirâmide (h): Como o plano está a 4 cm da base, a altura da pirâmide pequena que fica no topo é a diferença:h = 6 - 4 = 2.
Razão de Semelhança (k)
A razão entre as alturas da pirâmide menor e da maior é:[tex3]k = \frac{h}{H} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}[/tex3]
A razão entre o volume da pirâmide menor (V_p) e o volume da pirâmide original (V_{total}) é o cubo da razão de semelhança:[tex3]\frac{V_p}{V_{total}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}[/tex3]
Isso significa que, se dividirmos a pirâmide original em 27 partes iguais de volume:
Volume da nova pirâmide (V_p): 1 parte.
Volume total (V_tota}): 27 partes.
Volume do tronco (V_t): É a diferença entre o total e a pequena: 27 - 1 = 26 partes.

[Argean]

Bom dia, @petrasMOD .
Sim, faz sentido. Até encontrei essa relação, mas achei que só valeria pra comparar as duas piramides e não para a relação piramide/tronco. Na verdade, o que vc demonstra é que para eu deduzir a relação piramide/tronco eu preciso partir da relação piramide/piramide.
É muito dificil pra quem não tem essa percepção matemática enxergar coisas que parecem claras pra quem tem. As vezes a resposta está do lado e não vemos...
Obrigado mais uma vez...