IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 1999) Inequação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O conjunto solução da inequação [tex3]\frac{2x^2+3x-2}{2-3x} \leq 0[/tex3] está contido em:

(A) [tex3]\left]-\infty;\frac{2}{3}\right[[/tex3].
(B) [tex3]\left]-2;+\infty\right[[/tex3].
(C) [tex3]\left[\frac{1}{2};+\infty\right[[/tex3].
(D) [tex3]\left]-3;+\infty\right[[/tex3].
(E) [tex3]\left]-\infty;-2\right][/tex3].

Resposta

---

(D)

[luiseduardo]

Aqui tem uma dica:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=290154

[Natan]

Aldrin,

eu resolvi e achei como resposta [tex3]S=\left]-\infty,\, \frac{1}{2}\right]\, \cup\, \left[\frac{2}{3},\, \infty\right[[/tex3]

mas não consigo ver a diferença entre os intervalos das letra "b" e "d", poderia me explicar?

[jacobi]

O conjunto solução da inequação [tex3]\frac{2x^2+3x-2}{2-3x} \leq 0[/tex3] está contido em:


[tex3]2x^2 + 3x - 2 = 0[/tex3] ; [tex3]x = -2 \ e \ x = 1/2[/tex3]
[tex3]2 - 3x = 0[/tex3] ; [tex3]x = \frac{2}{3}[/tex3]

Escrevendo no varal de sinais, temos:
+++++++++ (-2) --------- (1/2) ++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++ (2/3) -----
A resposta
++++++++ (-2) ---------- (1/2) +++ (2/3) -----

Daí, temos: [tex3]{-2} \leq x \leq (1/2) \ \ ou \ \ x \ > \ 2/3[/tex3]

[SirRodC]

Revivendo o tópico pq eu ainda não entendi... se alguém puder esclarecer de outra forma, agradeço.

[cajuADMIN]

Olá SirRodC,

Para encontrar o intervalo que a fração [tex3]\frac{2x^2+3x-2}{2-3x} \leq 0[/tex3], temos que estudar os sinais do numerador e do denominador.

No numerador, temos uma parábola com concavidade para cima e com raízes -2 e 1/2. Assim, temos os seguintes sinais:

parabola.png (27.97 KiB) Exibido 8649 vezes

No denominador, temos uma reta decrescente, com raiz 2/3. Assim, temos os seguintes sinais:

reta.png (29.4 KiB) Exibido 8649 vezes

Agora a gente faz o estudo da divisão entre esses sinais:

resultado.png (90.28 KiB) Exibido 8649 vezes

Como queremos os negativos, ficamos com o intervalo [tex3]\(-2,\, \frac12\)\cup\(\frac23,\,+\infty\)[/tex3].

Como queremos, também, os iguais a zero, incluímos nesse intervalo os valores que tornam o numerador igual a zero, mas não incluímos os números que tornam o denominador igual a zero:

[tex3]\boxed{\boxed{\[-2,\, \frac12\]\cup\(\frac23,\,+\infty\)}}[/tex3]

Esse é o intervalo que garante a fração do enunciado será menor ou igual a zero.

Agora, para marcar a resposta certa, veja que o enunciado pergunta "o conjunto solução está contido em".

Ou seja, devemos analisar nas alternativas qual que contém o intervalo que encontramos.

Fiz uma figura das alternativas para ilustrar:

IMG_2128.png (261.03 KiB) Exibido 8649 vezes

Veja que, analisando apenas o sinal, ficamos com as alternativas B e D. A diferença entre elas é a existência do -2 na resposta (na B não tem o -2 e na D tem o -2).

Como o nosso intervalo possui o -2, ficamos com a resposta B.

Grande abraço,
Prof. Caju

[SirRodC]

Excelente, mestre, muito obrigado!!1