Física I ⇒ Movimento plano com trajetórias curvas Tópico resolvido

[inguz]

Uma pequena esfera, de massa m=0,3 kg, suspensa por um fio, de comprimento l= 2,5m, descreve um movimento circular uniforme de raio r= 2m em um plano horizontal (pêndulo cônico). Sendo g=10 m/s², determine:

A)a intensidade da força que traciona o fio

Resposta

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Resposta: 5 N

B)a velocidade angular da esfera

Resposta

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Resposta: 2,6 rad/s

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• massa da esfera m = 0,3 kg

• comprimento do fio l = 2,5 m

• aceleração da grávida g = 10 m /s^2

Resolução:

A) a intensidade da força que traciona o fio.

Primeiro determinar o ângulo [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf \alpha$ }[/tex3], usando triângulo retângulo formado pelo fio, o raio e a vertical:
[tex3] \displaystyle \sf \sin \alpha = \dfrac{r}{l} = \dfrac{2}{2{,}5} = 0{,}8 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}6 [/tex3]

Calcular a tração T, da equação de equilíbrio vertical:

[tex3] \displaystyle \sf \text { $ \mathsf{ \cos{\theta} = \dfrac{ \text { medida do cateto adjacente ao angulo }}{ \sf { \text{ medida da hipotenusa } }} } $ } \implies \cos{\alpha} = \dfrac{P}{T} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \cos{\alpha} \times T = P \implies T = \dfrac{m \times g }{cos{\alpha}} \implies T = \dfrac{0{,}3 \times 10}{0{,}6} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf T = \dfrac{ 3}{0{,}6 } \implies \colorbox{#DEB887}{T = 5 N} [/tex3]


B) a velocidade angular da esfera.

A componente horizontal da força de tração fornece a força centrípeta.

[tex3] \displaystyle \sf T \times \sin\alpha= m \times \omega^2 \times r \implies \omega^2 = \dfrac{T \times \sin\alpha}{m \times r} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \omega^2 = \dfrac{5 \times 0{,} 8 }{0{,}3 \times 2} \implies \omega^2 = \dfrac{4{,}0}{0{,}6} \implies \omega^2 = \dfrac{4}{6/10} [/tex3]

[tex3] \omega^2 =\dfrac{4}{1} \times \dfrac{10}{6} \implies \omega^2 = \dfrac{40}{6} \implies \omega = \sqrt{\dfrac{40}{6} } [/tex3]

[tex3] \displaystyle \colorbox{#FFA700}{ $ \sf \omega\approx 2{,}6\; rad/s $} [/tex3]