Colégio Naval 1977 ⇒ Questão 19 - CN - 1977 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se as equações do 2º grau (2p + q)x² - 6qx - 3 = 0 e (6p - 3q)x² - 3(p - 2)x - 9 = 0 possuem as mesmas raízes, então:
a) p = 6q + 2 b) p + q = 7 c) 3q = p + 2 d) p - 2 = 0 e) 2p + 3q = 8

[petrasMOD]

Para que duas equações do segundo grau possuam as mesmas raízes, os seus coeficientes devem ser proporcionais.
Vamos comparar os termos constantes primeiro, pois eles nos dão a razão de proporcionalidade:A constante da primeira é -3 e a da segunda é -9.
Isso significa que a segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por 3.

Portanto:[tex3] Termo ~ x^2: 3(2p + q) = 6p - 3q\\Termo~ x: 3(-6q) = -3(p - 2)[/tex3]

Termo (X): [tex3]-18q = -3(p - 2)\implies 6q = p - 2 \therefore p = 6q + 2[/tex3]

Testando se essa relação mantém a igualdade para o coeficiente de x²
[tex3]3(2p + q) = 6p - 3q\\6p + 3q = 6p - 3q\\
3q = -3q \implies 6q = 0 \implies q = 0,\\
substituindo ~em~ p = 6q + 2 \implies p = 6(0) + 2 \implies p = 2[/tex3]

Portanto:[tex3]\boxed{p=6q+2_{//}}[/tex3]

A alternativa d) afirma apenas:
p=2

Mas isso não garante que as equações tenham as mesmas raízes, pois:

Se p=2 e q [tex3]\neq[/tex3] 0, as equações não terão as mesmas raízes.

Exemplo:
Se p = 2 e q=1, substituindo nas equações, os coeficientes não ficam proporcionais.