Colégio Naval 1978 ⇒ Questão 04 - CN - 1978 Tópico resolvido

[petrasMOD]

4) A soma dos valores reais de k que fazem com que a equação x² - 2(k + 1)x + k² + 2k - 3 = 0 tenha uma de suas raízes igual ao quadrado da outra é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

[petrasMOD]

[tex3]∆ = [-2.(k + 1)]^2 - 4.1.(k² + 2.k - 3) \implies ∆ = 16 \implies \sqrt\Delta = 4[/tex3]
Isso nos dá duas raízess:
[tex3]x_1 = \frac{2k + 6}{2} = k + 3\\x_2 = \frac{2k - 2}{2} = k - 1[/tex3]
Aplicando a condição do problema: uma raiz é o quadrado da outra.
Temos duas possibilidades:
Caso 1: [tex3]x_1 = (x_2)^2\implies k + 3 = (k - 1)^2\implies k + 3 = k^2 - 2k + 1 \therefore k^2 - 3k - 2 =0[/tex3]
A soma das raízes ([tex3]k' + k=-\frac{b}{a} = \mathbf{3}\\
Caso 2: x_2 = (x_1)^2 \implies k - 1 = (k + 3)^2 \implies k - 1 = k^2 + 6k + 9 \therefore k^2 + 5k + 10 = 0[/tex3]
Para esta equação, o [tex3]\Delta = 25 - 40 = -15.[/tex3]
Como o enunciado pede valores reais de k, este caso não gera soluções válidas.

Portanto a soma = [tex3]\boxed{3_{//}}[/tex3].