Colégio Naval 1978 ⇒ Questão 11 - CN - 1978 Tópico resolvido

[petrasMOD]

11) A divisão de um número inteiro e positivo A pelo número inteiro positivo B dá o quociente Q e deixa o resto R. Se aumentarmos o dividendo A de 9 unidades, mantendo o mesmo divisor B, a divisão dá exata e o quociente aumenta de 2 unidades. O menor valor da soma A + B que satisfaz as condições acima é:
a) 9 b) 11 c) 8 d) 10 e) 13

[petrasMOD]

𝐴 = 𝐵 ∙ 𝑄 + 𝑅

𝐴 + 9 = 𝐵 ∙ (𝑄 + 2)

Logo, Fazendo a segunda equação menos a primeira, obtemos:

9 = 2B – R

Assim, 2B = 9 + R. Então, B é no mínimo 5, uma vez que A, B, Q e R são inteiros positivos.

Como queremos a menor soma de A + B, utilizaremos o valor mínimo para B, ou seja, 5 e, portanto, R = 1.

Perceba que, na segunda equação teremos, então, que A + 9 é múltiplo de 5 (M5) e, na primeira, que A é um múltiplo de 5 mais 1 (M5 + 1).

Então, temos que: A = 1, 6, 11, ...

No entanto, A = 1 não convém, pois teríamos um quociente igual a zero. Logo, o menor valor de A é 6.

De modo que a soma A + B = 11.
(Solução-Ismael Santos)