Colégio Naval 1980 ⇒ Questão 07 - CN - 1980 Tópico resolvido

[petrasMOD]

7) A área do losango que tem um ângulo interno de 120º e que circunscreve um círculo de 16π cm² de área é de:
a) 64 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm² b) 128 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm² c)[tex3]\frac{132\sqrt3}{3} [/tex3]cm² d)[tex3]\frac{80\sqrt3}{3}[/tex3]cm² e)[tex3]\frac{128\sqrt3}{ 3}[/tex3]cm²

[petrasMOD]

A área do círculo é dada por [tex3] A = \pi r^2[/tex3].
[tex3]\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 16 \implies r = 4 [/tex3].

No losango que circunscreve um círculo a altura (h) do losango é igual ao diâmetro do círculo inscrito.[tex3]h = 2r = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}[/tex3]

O losango possui um ângulo interno de [tex3]120^\circ.[/tex3] Isso significa que o outro ângulo interno (adjacente) é de [tex3]60^\circ[/tex3] (pois a soma deve ser [tex3]180^\circ[/tex3]).

Podemos olhar para o losango como um paralelogramo de base L e altura h. Usando o triângulo retângulo formado pela altura e o ângulo de [tex3]60^\circ:\\
\sen(60^\circ) = \frac{h}{L} \implies\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{L} \implies L\sqrt{3} = 16 \implies L = \frac{16}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt3}{3}[/tex3]

A área do losango pode ser calculada por:
[tex3]Area = \text{base} \times \text{altura} = L \times h= \frac{16\sqrt{3}}{3} \times 8 = \boxed{\frac{128\sqrt{3}}{3} cm^2_{//}}[/tex3]