Colégio Naval 1981 ⇒ Questão 13 - CN - 1981 Tópico resolvido

[petrasMOD]

13) A equação [tex3]\sqrt{3x +1} -\sqrt{ 2x −1} = 1 [/tex3]tem duas raízes cuja soma é:
a) 10 b) 4 c) 8 d) 5 e) 6

[petrasMOD]

C.E:
[tex3]\mathsf{3x+1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{3}(I)\\
2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}\\
De(I)e(II): x \geq \frac{1}{2}\\
\sqrt{3x +1}=1+\sqrt{ 2x −1} (^2)\\
3x+1 =1+2\sqrt{2x-1}+2x-1 \implies x+1 = 2\sqrt{2x-1}(^2)\\
x^2+2x+1 = 8x-4 \implies x^2-6x+5 = 0 \therefore x = 5\checkmark - ou~ x = 1\checkmark\\
\therefore 5+1 = \boxed{6_{//}} } [/tex3]

[Kin07]

Resolução:

[tex3] \displaystyle \sf \sqrt{3x +1} -\sqrt{ 2x −1} = 1 [/tex3]

Condições de existência:
[tex3]\displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}
\sf 3x+ 1 \ge 0 \implies x \ge -\, \dfrac{1}{3} \\ \\
\sf 2x- 1 \ge 0 \implies x \ge \, \dfrac{1}{2}
\end{cases} } $ }
[/tex3]

Portanto, a solução deve satisfazer [tex3] \sf x \ge \dfrac{1}{2} [/tex3]

Isolar uma raiz:
[tex3] \displaystyle \sf \sqrt{3x + 1} = 1 + \sqrt{2x - 1} [/tex3]

Elevar ambos os lados ao quadrado:
[tex3] \displaystyle \sf (\,\sqrt{3x + 1} \,)^2 = (\,1 + \sqrt{2x - 1}\,)^2 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf 3x + 1 = 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 2x - 1 [/tex3]

Simplificando:
[tex3] \displaystyle \sf 3x -2x +1 = \cancel{1} - \cancel{-1} + 2\sqrt{2x - 1} [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x +1 = 2\sqrt{2x - 1} [/tex3]

Elevar ao quadrado novamente:
[tex3] \displaystyle \sf (\, x +1\,)^2 = (\,2\sqrt{2x - 1}\,)^2 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x^2 +2x + 1= 4 \cdot (\, 2x -1\,) [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x^2 +2x + 1= 8x - 4 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x^2 - 6x + 5 = 0 [/tex3]

Encontrar as raízes:

[tex3] \displaystyle \sf \Delta = 36 - 20 = 16 [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf x = \dfrac{6 \pm 4}{2} = 5 \quad \text{ou} \quad 1 [/tex3]

A soma das duas raízes é:
[tex3] \displaystyle \sf x_1 + x_2 = 5 +1 = 6 [/tex3]

Resposta correta: e) 6