Colégio Naval 1982 ⇒ Questão 08 - CN - 1982 Tópico resolvido

[petrasMOD]

8 ) Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvessem três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20m² e, se houvessem quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria de 50m². O número de metros quadrados da área do terreno todo é:
a) 1600 b) 1400 c) 1200 d) 1100 e) 900

[petrasMOD]

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[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• A = área total do terreno (em m²)

• n = número de herdeiros

• o lote de cada herdeiro é: [tex3] \displaystyle \sf \dfrac{A}{n} [/tex3]

Resolução

Três herdeiros a mais, cada lote diminui 20 m^2.

[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{A}{n+3} = \dfrac{A}{n} - 20 [/tex3]

Quatro herdeiros a menos cada lote aumenta 50 m^2.

[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{A}{n-4} = \dfrac{A}{n} + 50 [/tex3]

Resolvendo o sistema a primeira equação.

[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{A}{n} - \dfrac{A}{n+3} = 20 [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \dfrac{3A}{n\,(n+3)} = 20 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = \frac{20\,n\,(n+3)}{3} [/tex3]

Da segunda equação:

[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{A}{n-4} - \dfrac{A}{n} = 50 [/tex3]


[tex3]\displaystyle \sf \dfrac{4A}{n\,(n-4)} = 50 [/tex3]

[tex3]\displaystyle \colorbox{#E9D66B}{ $ \sf A = \dfrac{50\,n\,(n-4)}{4} $} [/tex3]

Igualando as duas expressões de A:

[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{20\,n\,(n+3)}{3} = \dfrac{50\,n\,(n-4)}{4} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf 80\cdot (n+3) = 150 \cdot (n-4) [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf 80n + 240 = 150n - 600 [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf 70n = 840 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \colorbox{#FE6F5E}{ n = 12 } [/tex3]

Calcular o valor de A:

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{50 \cdot n \cdot (\,n-4\,)}{4} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{50 \cdot 12 \cdot (\,12-4\,)}{4} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{600 \cdot 8}{4} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = \dfrac{600 \cdot\cancelto{2}{8} }{\cancelto{1}{4}} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf A = 600\cdot 2 = \colorbox{#FFEF00}{A = 1200} [/tex3]

Resposta correta: c) 1200 m²