Colégio Naval 1982 ⇒ Questão 09 - CN - 1982 Tópico resolvido

[petrasMOD]

9) No sistema os valores x – y = 2 e [tex3] \frac{x}{y} +\frac{y}{x} = \frac{13}{x} [/tex3] a soma de todos os valores de x e y que satisfazem ao sistema é:
a) 9 b) 20 c) 11 d) 14 e) 13

[petrasMOD]

[tex3] \frac{x}{y} +\frac{y}{x} = \frac{13}{x}\implies x^2+y^2 =13xy [/tex3]
Da primeira equação, temos que x = y + 2
Substituímos o valor de x: [tex3](y + 2)^2 + y^2 = 13y \implies y^2 + 4y + 4 + y^2 = 13\\\therefore 2y^2 - 9y + 4 = 0[/tex3]
Isso nos dá dois valores para y:
[tex3]y_1 = \frac{16}{4} = 4:y_2 = \frac{2}{4} = 0,5[/tex3]
[tex3]x = y + 2:Se~ y_1 = 4 \implies x_1 = 4 + 2 = 6\\Se~ y_2 = 0,5 \implies x_2 = 0,5 + 2 = 2,5[/tex3]
A soma de todos os valores de x e y que satisfazem o sistema:
[tex3]
\text{Soma} = x_1 + y_1 + x_2 + y_2 = 6 + 4 + 2,5 + 0,5 = \boxed{13_{//}}[/tex3]