Colégio Naval 1982 ⇒ Questão 19 - CN - 1982 Tópico resolvido

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19) Um quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O lado AB é o lado do triângulo eqüilátero inscrito nesse círculo. O lado CD é o lado do hexágono regular inscrito nesse círculo. O ângulo formado pelas diagonais do quadrilátero é de:
a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 108°

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Lado AB: Como é o lado de um triângulo equilátero inscrito, ele divide a circunferência em 3 partes iguais. Portanto, o arco AB mede:[tex3]\text{Arco } AB = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ[/tex3]

Lado CD: Como é o lado de um hexágono regular inscrito, ele divide a circunferência em 6 partes iguais. Portanto, o arco CD mede:[tex3]\text{Arco } CD = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ[/tex3]$$

Ângulo entre as DiagonaisAs diagonais do quadrilátero ABCD são os segmentos AC e BD.
ponto onde elas se cruzam forma um ângulo excêntrico interno.
Portanto :[tex3]\angle BOC= \frac{ \overset{\LARGE{\frown}}{AB} + \overset{\LARGE{\frown}}{CD} }{2}\\
\angle BOC = \frac{120^\circ + 60^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2}= \boxed{90^\circ_{//}}[/tex3]