IME / ITA ⇒ Produto de cossenos: cos(x)...cos(nx)

[ArquiBaude]

A expressão [tex3]C_n = \cos(x)\cos(2x)\cdots \cos(nx)[/tex3] pode ser escrita na forma:

[tex3]\frac{A_s\cos(sx)+A_{s-2}\cos((s-2)x) + \cdots}{2^{n-1}}[/tex3]

Onde [tex3]s = \sum_{k=1}^{k=n}k[/tex3]. Assumindo n = 10, determine qual o coeficiente [tex3]A_{25}[/tex3] do termo [tex3]\cos(25x)[/tex3].

Resposta

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[tex3]A_{25} = 20[/tex3]

[LeonhardEuler]

Sabemos do enunciado que:
[tex3]C_n = \cos(x)\cos(2x)\cdots \cos(nx) = \frac{A_s\cos(sx)+A_{s-2}\cos((s-2)x) + \cdots}{2^{n-1}} \\
s = \sum_{k=1}^{k=n}k[/tex3]
Pelo enunciado, sabemos que [tex3]n = 10[/tex3], o que implica:
[tex3]\sum_{k=1}^{k =10}k = S_n = \frac{(A_1+A_n)n}{2} \\
S_n = 55
[/tex3]
Queremos o coeficiente [tex3]A_{25}[/tex3] da segunda expressão apresentada.
Vamos desenvolver a expressão [tex3]C_n = \cos(x)\cos(2x)\cdots \cos(nx)[/tex3] utilizando a relação trigonométrica [tex3]\text{cos}(a) × \text{cos}(b) = \frac{1}{2}\ ( \text{cos}(a - b) + \text{cos}(a +b))[/tex3]. Veja que, se adicionarmos um [tex3]\text{cos}(c)[/tex3] arbitrário, ficamos com:
[tex3]\frac{1}{2}\ ( \text{cos}(a - b) + \text{cos}(a +b)) × \text{cos}(c) \\
\frac{1}{2} ([ \text{cos}(a - b) × \text{cos}(c)] + [\text{cos}(a +b) × \text{cos}(c)]) \\
\frac{1}{2} \left( \frac{[ \text{cos}(a - b +c) + \text{cos}(a - b -c)]}{2} + \frac{[ \text{cos}(a + b +c) + \text{cos}(a + b -c)]}{2}\right) \\
\frac{1}{4} (\text{cos}(a - b +c) + \text{cos}(a - b -c) + \text{cos}(a + b +c) + \text{cos}(a + b -c))
[/tex3]
Daqui podemos tirar duas conclusões valiosas, veja que, para o produto de 3 cossenos distintos, o denominador da fração que colocamos em evidência é 4, isto é[tex3]\overset{\text{denominador da fração}}{\overbrace{4}} = 2^{(\overset{\text{cossenos}}{\overbrace{3}} -1)}[/tex3], de forma genérica: [tex3]\frac{1}{2^{n-1}}[/tex3] Onde [tex3]n[/tex3] é o número de cossenos que assumem o papel de fatores. Também podemos notar que, no numerador, com o produto de [tex3]n[/tex3] cossenos distintos, com ângulos [tex3]x_1, \ x_2, \ \cdots , \ x_n [/tex3], o termo que aparece terá a forma:
[tex3]\text{cos}(\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots\pm x_n) + \text{cos}(\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots\pm x_n) + \cdots + \text{cos}(\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots\pm x_n)[/tex3]
Onde todas as possibilidades de adição e subtração entre os ângulos ocorrerão (o operador mais ou menos é justificado no primeiro termo uma vez que o cosseno é uma função par, o que permite que escrevamos que [tex3]\text{cos}(x_1 - x_2) = \text{cos}(x_2 - x_1)[/tex3]). Juntando nossas conclusões:
[tex3]C_n = \frac{\text{cos}(\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots\pm x_n) + \text{cos}(\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots\pm x_n) + \cdots + \text{cos}(\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots\pm x_n)}{2^{n-1}}[/tex3]
Como proposto no enunciado, faremos [tex3]n = 10[/tex3] assim:
[tex3]C_{10} = \cos(x)\cos(2x)\cdots \cos(10x) \\
C_{10} = \frac{\text{cos}(\pm x \pm 2x \pm \cdots\pm 10x) + \text{cos}(\pm x \pm 2x \pm \cdots\pm 10x) + \cdots + \text{cos}(\pm x \pm 2x \pm \cdots\pm 10x)}{2^{9}}[/tex3]
Veja que, conforme variamos o operador mais ou menos, variamos também o ângulo da função cosseno, o maior ângulo da função será quando escolhermos todos os operadores como a adição, para chegarmos ao segundo maior valor, basta trocar o sinal de positivo para negativo do menor número:
[tex3]\text{cos}\left( \sum_{k=1}^{k=n}k \right) = \text{cosseno máximo} \\
\text{cos}(-1 +2 +3 + \cdots+n) = \text{cos}(1 + 3+4 + \cdots + n) = \text{cos}(s -2)[/tex3]
Os coeficientes [tex3]A_S[/tex3] simbolizam o número de vezes que, ao escolher uma determinada sequência de mais ou menos, chega-se em um determinado valor do cosseno específico, por exemplo, suponha que temos [tex3]n = 3[/tex3] e quero saber qual o coeficiente de [tex3]\text{cos}(2x)[/tex3], para saber isso, basta ver quantas são as possibilidades da expressão [tex3]\pm 1 \pm 2 \pm 3 \ = 2[/tex3], nesse caso, há somente uma possibilidade: [tex3]1 -2 +3 = 2[/tex3], o que faz o coeficiente ser 1, todavia, expandindo para mais números e sem buscar um valor numérico determinado, haverão diversas possibilidades para fazer a soma coincidir com nosso valor. Agora, basta fazermos isso com [tex3]n =10[/tex3], para facilitar, considere [tex3]S_+[/tex3] a soma da parte positiva do argumento e [tex3]S_-[/tex3] a soma da parte negativa (em módulo), por exemplo:
[tex3]\overset{S_+ = 40}{\overbrace{+10 +9 +8 +7 +6}}\overset{S_- = 15}{\overbrace{ -5 -4 -3 -2 -1}}[/tex3]
Com isso, podemos escrever que:
[tex3]S_+ - S_- = 25 \\
S_+ + S_- = S_n = 55[/tex3]
Resolvendo o sistema linear:
[tex3]S_+ = 40 \\
S_- = 15[/tex3]
Perceba que há uma relação um-para-um entre o conjunto [tex3]S_+[/tex3] e [tex3]S_-[/tex3], isto é, para cada soma [tex3]S_+[/tex3] há exatamente uma soma [tex3]S_-[/tex3] associada à esta, isso facilitará o trabalho de listar as possibilidades, uma vez que poderemos listar os casos em que [tex3]S_- = 15[/tex3], os quais são minoria se comparados aos casos em que [tex3]S_+ = 40[/tex3], por fim, listando os casos em que [tex3]S_- = 15[/tex3]:
[tex3]\{10,5\}, \{10,4,1\}, \{10,3,2\} = \text{3 possibilidades} \\
\{9,6\}, \{9,5,1\}, \{9,4,2\}, \{9,3,2,1\} =\text{4 possibilidades} \\
\{8,7\}, \{8,6,1\}, \{8,5,2\}, \{8,4,3\}, \{8,4,2,1\} = \text{5 possibilidades} \\
\{7,6,2\}, \{7,5,3\}, \{7,5,2,1\}, \{7,4,3,1\} = \text{4 possibilidades} \\
\{6,5,4\}, \{6,5,3,1\}, \{6,4,3,2\} = \text{3 possibilidades} \\
\{5,4,3,2,1\} = \text{1 possibilidade}[/tex3]
Somando todas esses casos: [tex3]3 + 4 +5+4+3+1 = 20 \\
\fbox{ $\therefore A_{25} = 20$}[/tex3]

Antes de concluir a resposta, duas coisas:
1) É provável que exista uma forma de resolver esse exercício utilizando complexos, minhas primeiras tentativas foram utilizando a identidade [tex3]\text{cos}(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}[/tex3], todavia, a resolução seguiu um caminho muito semelhante a esta.
2) Se não for incomodo ArquiBaude, eu realmente gostaria de saber qual a origem desse exercício.