Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 015 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

15. (UE-CE) Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy (x é o dígito das dezenas e y o dígito das unidades), que são divisíveis por 15. O número de elementos de X é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Resposta

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a)

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O número em questão é da forma 31754xy. 
Divisibilidade por 5: O dígito das unidades, (y), deve ser 0 ou 5.
Divisibilidade por 3: A soma dos dígitos deve ser um múltiplo de 3.
A soma dos dígitos é (S=3+1+7+5+4+x+y=20+x+y). 
Contagem dos Casos Possíveis Analisamos os dois casos possíveis para (y): 

Se (y=0): A soma dos dígitos é (S=20+x). Para que (S) seja divisível por 3, com [tex3](x\in {0,1,\dots ,9)}[/tex3]), os valores possíveis para (x) são 1, 4, e 7. (3 elementos)

Se (y=5): A soma dos dígitos é (S=20+x+5=25+x). Para que (S) seja divisível por 3, com [tex3]\(x\in \{0,1,\dots ,9\}\)[/tex3], os valores possíveis para (x) são 2, 5, e 8. (3 elementos) 

O número total de elementos no conjunto (X) é a soma dos elementos de ambos os casos, (3+3)=[tex3]\boxed{6_{//}}[/tex3].