IME / ITA ⇒ (ITA - 2009) Conjuntos Númericos

[Auto Excluído (ID:276)]

Questão 1. Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo [tex3]U = \{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,g,\,h\}[/tex3]. Sabendo
que [tex3](B^c \cup A)^c = \{f,\,g,\,h\}[/tex3], [tex3]B^c \cap A = \{a,\,b\}[/tex3] e [tex3]A^c - B = \{d,\,e\}[/tex3], então, [tex3]n(P(A \cap B))[/tex3] é igual a
A ( ) 0: B ( ) 1: C ( ) 2: D ( ) 4: E ( ) 8

boa noite, pessoal. gostaria de saber, além da resolução, que notação é essa utilizada no enunciado do problema : [tex3](B^c \cup A)^c[/tex3]

refiro-me, mais especificamente, no significado do C nas representações do problema. Obrigado, boa noite e feliz 2011 !

[fabit]

É o COMPLEMENTAR, ou seja, tudo que há no universo U menos o que há no conjunto em questão.

Ex: Complementar de B é U-B.

Quanto à solução, vou postar logo mais.

[fabit]

Vou usar três fatos interessantes da Álgebra dos Conjuntos:
a) O complementar do complementar é o próprio conjunto original. Exemplo: [tex3]\left(X^c\right)^c=X[/tex3]
b) A subtração é a interseção com o complementar. Exemplo: [tex3]X-Y=X\cap Y^c[/tex3]; e
c) O complementar da união é a interseção dos complementares. Exemplo: [tex3]\left(X\cup Y\right)^c=X^c\cap Y^c[/tex3]

Cliquei errado em enviar, e por causa disso terei que postar mais uma mensagem.

[fabit]

Usando o fato "c", [tex3](B^c\cup A)^c=(B^c)^c\cap A^c[/tex3] e isso é igual a [tex3]B\cap A^c[/tex3] por conta do fato "a".

Logo, pelo fato "b" conclui-se que [tex3]B-A=\{f,g,h\}[/tex3] (são os elementos que estão em B e que não estão em A)

Pelo fato "b", também conclui-se que [tex3]A-B=\{a,b\}[/tex3] (elementos de A que não são de B)

Terceira informação [tex3]A^c-B=\{d,e\}[/tex3] são os elementos que não estão nem no A e nem no B.

Já se pode montar o diagrama todo, com {d,e} do lado de fora (só dentro do U, é claro), {a,b} só em A, {f,g,h} só em B e por exclusão o {c} ficou na interseção de A e B.

Passando o mouse em cima do n(P(A B)) tem um \ que eu acho que no enunciado aparecia mas o pedro123 digitou dentro do TEX e aí sumiu. Se for isso, já sabíamos que A-B tinha 2 elementos há muito tempo. E aí as partes de A-B tem 2²=4 elementos.

Letra D

[Auto Excluído (ID:276)]

Boa noite, fabit. Desculpe-me pelo erro (editarei o enunciado depois de enviar esta mensagem). O enunciado pede o número de elementos da interseção de A com B. Um abraço! e obrigado pelos esclarecimentos. A realidade é que muitas dessas definições não encontrei sequer no meu ensino médio, que terminei ano passado . E estudei num colégio técnico federal. Lamentável!!

[fabit]

Ah, então é n(P({c})), e como {c} é unitário, são 2 partes. Letra C.

[Paitt]

As duas partes de n(P({c})) seriam o próprio ' c ' e o [tex3]\oslash[/tex3] ( Nulo ) ?

[fabit]

Sim

[Paitt]

Entendi, obrigado!

[cajuADMIN]

Só para complementar a resolução do colega, no [tex3]\LaTeX[/tex3] existe um símbolo para representar o complementar, que é um C mais estilizado:

[tex3]A^\complement[/tex3]

Código: Selecionar todos

[tex3]A^\complement[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju