Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 085 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

85. (UE-CE) O coeficiente de x⁹ no desenvolvimento de[tex3] (x^3 +\frac{1}{x})^7 [/tex3] é:
a) 25 b) 30 c) 35 d) 40

Resposta

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c)

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• coeficiente de [tex3] \displaystyle \sf x^9[/tex3]

• desenvolvimento de[tex3] \displaystyle \sf \left (x^3 +\dfrac{1}{x} \right)^7 [/tex3]

Resolução:

Usando o Teorema Binomial. O termo geral do desenvolvimento é dado por:

[tex3] \displaystyle \sf T_k = \binom{7}{k} \left(x^3\right)^{7-k} \left(\dfrac{1}{x}\right)^k = \binom{7}{k} x^{3(7 - k)} x^{-k} = \binom{7}{k} x^{21 - 4k} [/tex3]

Queremos encontrar o valor de k do expoente de x seja 9:

[tex3] \displaystyle \sf 21 - 4k = 9 \implies 21-9 = 4k [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf 4k = 12 \implies \colorbox{#FFBF00}{k = 3} [/tex3]

Calculamos o coeficiente para k = 3, temos:

[tex3] \displaystyle \sf \binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3! \times 4!} = \dfrac{ 7\times 6 \times 5 \times \cancel{4!}}{3 \times 2 \times 1 \times \cancel{4!}} = \dfrac{210}{6} = \colorbox{#CD9575}{35} [/tex3]

Resposta: c) 35