Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 098 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

98. (PUC-SP) Em uma urna há 10 cartões, cada qual marcado com apenas um dos números: 2, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 19, 21 e 24. Para compor uma potência, devem ser sorteados sucessivamente e sem reposição dois cartões: no primeiro o número assinalado deverá corresponder à base da potência e no segundo, ao expoente. Assim, a probabilidade de que a potência obtida seja equivalente a um número par é de:
a) 45%
b) 40%
c) 35%
d) 30%
e) 25%

Resposta

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b)

[petrasMOD]

Uma potência a^b (onde[tex3] b \geq 1[/tex3]) será um número par se, e somente se, a base a for par.
Se a base for par, qualquer potência de expoente inteiro positivo resultará em um número par (ex: [tex3]2^3 = 8, 6^2 = 36[/tex3]).

Se a base for ímpar, qualquer potência resultará em um número ímpar (ex:[tex3]5^2 = 25, 7^3 = 343[/tex3]).

Pares: {2, 6, 14, 24} — Total: 4 números
Ímpares: {5, 7, 9, 13, 19, 21} — Total: 6 números

A probabilidade de a potência ser um número par depende exclusivamente do primeiro sorteio (a base), já que todos os números disponíveis para o expoente são maiores ou iguais a 2 (garantindo que o resultado não seja alterado por um expoente zero, por exemplo).
Portanto [tex3] P = \frac{\text{Quantidade de bases pares}} {\text{Total de cartões}} = \frac{4}{10} = 0,4 = \boxed{40\%_{//}}[/tex3]